Question

Os elementos do espaço vetorial V são chamados de vetores, independentemente de sua natureza, por meio das operações de adição entre vetores e multiplicação de vetor por escalar, obedecendo as propriedades a seguir.

Propriedades:

( u + v) + w = u + ( v + w)
u + v = v + u
Existe 0 Є V tal que u + 0 = u. (0 é chamado vetor nulo.)
Existe u Є V tal que u + ( -u) = 0.
a( u + v) = au + av
(a + b)v = av + bv
(ab)v = a(bv)
1u = u
Lembrando que para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, e ao multiplicar um número escalar por um vetor fazemos a distributividade.

A partir dessas informações verifique os oito axiomas(propriedades) citados e conclua se o espaço V= IR^3 = {(x, y, 0)/ x, y e z Є IR} vetorial ou não vetorial..

Observação:

Os vetores serão criados pelo aluno dentro da informação citada. E a questão deverá apresentar a resolução para comprovar a veracidade das propriedades.

-QUESTÃO ORIGINAL ABAIXO:

Answer 1

Respeitando a formação V = (x,y,0)

u = (x1,y1,0) , v = (x2,y2,0)  , w = (x3,y3,0)

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Aplicando as propriedades ...

1..............( u + v) + w = u + ( v + w)

[(x1,y1,0)+(x2,y2,0)]+(x3,y3,0) = (x1,y1,0)+[(x2,y2,0)+(x3,y3,0)

[(x1+x2,y1+y2,0)]+(x3,y3,0)] = (x1,y1,0)+[(x2+x3,y2+y3,0)]

(x1+x2+x3,y1+y2+y3,0) = (x1+x2+x3,y1+y2+y3,0)

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2............u + v = v + u

(x1,y1,0)+(x2,y2,0) = (x2,y2,0)+(x1,y1,0)

(x1+x2,y1+y2,0) = (x1+x2,y1+y2,0)

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3.............Existe 0 Є V tal que u + 0 = u. (0 é chamado vetor nulo.)

vetor nulo = (0,0,0)

(x1,y1,0) + (0,0,0) = (x1,y1,0)

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4.........Existe -u Є V tal que u + ( -u) = 0.

vetor -u = -(x1,y1,0) = (-x1,-y1,0)

u + (-u)

(x1,y1,0) + (-x1,-y1,0) 

(x1-x1,y1-y1,0+0) = (0,0,0)

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5............a( u + v) = au + av

a.[(x1,y1,0)+(x2,y2,0)] = a.(x1,y1,0) + a.(x2,y2,0)

(ax1,ay1,0) + (ax2,ay2,0) = (ax1,ay1,0) + (ax2,ay2,0) 

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6..........(a + b)v = av + bv

(a+b).(x2,y2,0) = a.(x2,y2,0) + b.(x2,y2,0)

(ax2,ay2,0) + (bx2,by2,0) = (ax2,ay2,0) + (bx2,by2,0)

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7......(ab)v = a(bv)

(ab).(x2,y2,0) = a.[b.(x2,y2,0)]

a.b(x2,y2,0) = a.(bx2,aby2,0)

(abx2,aby2,0) = (abx2,aby2,0)

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8.....1u = u

1.(x1,y1,0) = (x1,y1,0)                                   ok