Question

Os elementos do espaço vetorial V são chamados de vetores, independentemente de sua natureza, por meio das operações de adição entre vetores e multiplicação de vetor por escalar, obedecendo as propriedades a seguir.

Propriedades:

1.( u + v) + w = u + ( v + w)
2.u + v = v + u
3.Existe 0 Є V tal que u + 0 = u. (0 é chamado vetor nulo.)
4.Existe -u Є V tal que u + ( -u) = 0.
5.a( u + v) = au + av
6.(a + b)v = av + bv
7.(ab)v = a(bv)
8.1u = u
Lembrando que para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, e ao multiplicar um número escalar por um vetor fazemos a distributividade.

A partir dessas informações verifique os oito axiomas(propriedades) citados e conclua se o espaço V= IR³ = {(x, 0, z)/ x, y e z ε IR} é vetorial ou não vetorial.

Answer 1

Vamos lá !

Respeitando a formação V = (x,0,z)

u = (x1,0,z1) , v = (x2,0,z2)  , w = (x3,0,z3)

================================================

Aplicando as propriedades ...

1.( u + v) + w = u + ( v + w)

[(x1,0,z1)+(x2,0,z2)]+(x3,0,z3) = (x1,0,z1)+[(x2,0,z2)+(x3,0,z3)

[(x1+x2,0,z1+z2)]+(x3,0,z3)] = (x1,0,z1)+[(x2+x3,0,z2+z3)]

(x1+x2+x3,0,z1+z2+z3) = (x1+x2+x3,0,z1+z2+z3)

------------------------------------------------------------------------------------------------

2.u + v = v + u

(x1,0,z1)+(x2,0,z2) = (x2,0,z2)+(x1,0,z1)

(x1+x2,0,z1+z2) = (x1+x2,0,z1+z2)

--------------------------------------------------------------------------------------------

3.Existe 0 Є V tal que u + 0 = u. (0 é chamado vetor nulo.)

vetor nulo = (0,0,0)

(x1,0,z1) + (0,0,0) = (x1,0,z1)

--------------------------------------------------------------------------------------


4.Existe -u Є V tal que u + ( -u) = 0.

vetor -u = -(x1,0,z1) = (-x1,0,-z1)

u + (-u)

(x1,0,z1) + (-x1,0,-z1) 

(x1-x1,0+0,z1-z1) = (0,0,0)

----------------------------------------------------------------------


5.a( u + v) = au + av

a.[(x1,0,z1)+(x2,0,z2)]

(ax1,0,az1) + (ax2,0,az2)

-------------------------------------------------------


6.(a + b)v = av + bv

(a+b).(x2,0,z2)

(ax2,0,az2) + (bx2,0,bz2)

------------------------------------------------------


7.(ab)v = a(bv)

(ab).(x2,0,z2) 

a.b(x2,0,z2)

a.(bx2,0,bz2)

-------------------------------------------------------


8.1u = u

1.(x1,0,z1) = (x1,0,z1) 


Espero que esteja correto !                                                            ok