Question

Os determinantes dessas matrizes​

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

Item a):

Para resolver esses determinantes vamos usar a regra de Chió, pois tal técnica é mais viável para os DETERMINANTES (4x4).

A regra diz que devemos escolher um elemento da matriz, sendo que esse elemento deve ser um número "1", após fazer a escolha, você deve eliminar essa linha e coluna.

Sabendo disso, vamos escolher o número (1) da posição a43:

$\begin{bmatrix}2&3& - 1&2 \\ 0&4& - 3&5 \\ 1&2&1&3 \\ 0&4&1&0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}2&3& \red{ \cancel- 1}&2 \\ 0&4& \red{\cancel- 3}&5 \\ 1&2& \red{\cancel1}&3 \\ \red{\cancel0}& \red{\cancel4}& \red{\cancel1}& \red{ \cancel0} \end{bmatrix}$

De acordo com a regra teremos que subtrair o produto das margens dos novos elementos do determinante gerado (3x3).

$\begin{bmatrix}2 - 0.( - 1)&3 - 4.( - 1)&2 - 0.( - 1) \\ 0 -0.( - 3) &4 - 4.( - 3)&5 - 0.( - 3) \\ 1 - 0.1&2 - 4.1&3 - 0.1 \end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix}2 - 0&3 + 4&2 - 0\\ 0 -0 &4 + 12&5 - 0 \\ 1 - 0&2 - 4&3 - 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}2 &7&2 \\ 0 &16&5 \\ 1 & - 2&3\end{bmatrix}$

Com essa história de subtrair os produtos temos como resultado um determinante (3x3), ou seja, podemos resolver através do método de Sarrus:

$\begin{bmatrix}2 &7&2 \\ 0 &16&5 \\ 1 & - 2&3\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}2 &7 \\ 0 &16 \\ 1 & - 2\end{bmatrix} \\ \\d = 2.16.3 + 7.5.1 + 2.0.( - 2) - (1.16.2 + ( -2).5.2 + 3.0.7) \\ d=96 + 35 + 0 -( 32 - 20 + 0) \\ d=131 - (12) \\ d=131 - 12 \\ \boxed{d = 119}$

Com o resultado desse DETERMINANTE devemos substituir na fórmula da regra de Chió.

Obs: (O elemento i e j da fórmula representam a posição do número "1" escolhido no começo da questão)

a43 → i = 4, j = 3.

Substituindo:

$D = ( - 1) {}^{i + j} .d \\ D = ( - 1) {}^{4 + 3} .119 \\ D =-1.119 \\ \boxed{ D = -119}$

Essa é a nossa primeira resposta.

Item b):

Para fazer esse será a mesma lógica do anterior, então não explicarei a mesma coisa.

$\begin{bmatrix}0&0&0& \red{\cancel3} \\ - 1&2&1& \red{\cancel4}\\ 3&4&6& \red{\cancel - 1} \\ \red{\cancel2}& \red{ \cancel0}& \red{\cancel4}& \red{\cancel1} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}0 -2.3 &0 - 0.3&0 - 4.3 \\ - 1 - 2.4&2 - 0.4&1 - 4.4 \\ 3 - 2.( - 1)&4 - 0.( - 1)&6 - 4. ( - 1)\end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix}- 6 &0 & - 12 \\ - 1 - 8&2 &1 -16 \\ 3 + 2&4 &6 + 4\end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix} - 6 &0 & - 12 \\ - 9&2 & - 15 \\ 5&4 &10\end{bmatrix}.\begin{bmatrix} - 6 &0 \\ - 9&2 \\ 5&4\end{bmatrix} \\ \\d = ( - 6).2.10 + 0.( - 15).5 + ( - 12). ( - 9).4 - (5.2.( - 12) + 4.( - 15).( - 6) + 10.( - 9).0) \\ d = - 120 + 0 + 432 - ( - 120 + 360 - 0) \\ d = 312 - (240) \\ d = 312 - 240 \\ \boxed{d = 72}$

a44 → i = 4, j = 4.

$D = ( - 1) {}^{i + j} .d \\ D = ( - 1) {}^{4 + 4} .72 \\ D = 1.72 \\ \boxed{ D = 72}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️

Oh meu deus, tudo dando errado

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

a)

$\sf A=\Big[\begin{array}{cccc} \sf 2 & \sf 3 & \sf -1 & \sf 2 \\ \sf 0 & \sf 4 \sf -3 & \sf 5 \\ \sf 1 & \sf 2 & \sf 1 & \sf 3 \\ \sf 0 & \sf 4 & \sf 1 & \sf 0 \end{array}\Big]$

Pelo Teorema de Laplace:

$\sf det~(A)=a_{11}\cdot A_{11}+a_{21}\cdot A_{21}+a_{31}\cdot A_{31}+a_{41}\cdot A_{41}$

$\sf det~(A)=a_{11}\cdot A_{11}+0\cdot A_{21}+a_{31}\cdot A_{31}+0\cdot A_{41}$

$\sf det~(A)=a_{11}\cdot A_{11}+0+a_{31}\cdot A_{31}+0$

$\sf det~(A)=a_{11}\cdot A_{11}+a_{31}\cdot A_{31}$

Temos que:

• $\sf A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot D_{11}$

$\sf D_{11}=\Big|\begin{array}{ccc} \sf 4 & \sf -3 & \sf 5 \\ \sf 2 & \sf 1 & \sf 3 \\ \sf 4 & \sf 1 & \sf 0 \end{array}\Big|$

$\sf D_{11}=4\cdot1\cdot0+(-3)\cdot3\cdot4+5\cdot2\cdot1-4\cdot1\cdot5-1\cdot3\cdot4-0\cdot2\cdot (-3)$

$\sf D_{11}=0-36+10-20-12+0$

$\sf D_{11}=10-68$

$\sf D_{11}=-58$

Assim:

$\sf A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot D_{11}$

$\sf A_{11}=(-1)^{2}\cdot(-58)$

$\sf A_{11}=1\cdot(-58)$

$\sf A_{11}=-58$

• $\sf A_{31}=(-1)^{3+1}\cdot D_{31}$

$\sf D_{31}=\Big|\begin{array}{ccc} \sf 3 & \sf -1 & \sf 2 \\ \sf 4 & \sf -3 & \sf 5 \\ \sf 4 & \sf 1 & \sf 0 \end{array}\Big|$

$\sf D_{31}=3\cdot(-3)\cdot0+(-1)\cdot5\cdot4+2\cdot4\cdot1-4\cdot(-3)\cdot2-1\cdot5\cdot3-0\cdot4\cdot (-1)$

$\sf D_{31}=0-20+8+24-15+0$

$\sf D_{31}=32-35$

$\sf D_{31}=-3$

Assim:

$\sf A_{31}=(-1)^{4+1}\cdot D_{11}$

$\sf A_{31}=(-1)^{4}\cdot(-3)$

$\sf A_{31}=1\cdot(-3)$

$\sf A_{31}=-3$

Logo:

$\sf det~(A)=a_{11}\cdot A_{11}+a_{31}\cdot A_{31}$

$\sf det~(A)=2\cdot(-58)+1\cdot(-3)$

$\sf det~(A)=-116-3$

$\sf \red{det~(A)=-119}$

b)

$\sf A=\Big[\begin{array}{cccc} \sf 0 & \sf 0 & \sf 0 & \sf 3 \\ \sf -1 & \sf 2 \sf 1 & \sf 4 \\ \sf 3 & \sf 4 & \sf 6 & \sf -1 \\ \sf 2 & \sf 0 & \sf 4 & \sf 1 \end{array}\Big]$

Pelo Teorema de Laplace:

$\sf det~(A)=a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13}+a_{14}\cdot A_{14}$

$\sf det~(A)=0\cdot A_{11}+0\cdot A_{12}+0\cdot A_{13}+3\cdot A_{14}$

$\sf det~(A)=0+0+0+a_{14}\cdot A_{14}$

$\sf det~(A)=a_{14}\cdot A_{14}$

Temos que:

• $\sf A_{14}=(-1)^{1+4}\cdot D_{14}$

$\sf D_{14}=\Big|\begin{array}{ccc} \sf -1 & \sf 2 & \sf 1 \\ \sf 3 & \sf 4 & \sf 6 \\ \sf 2 & \sf 0 & \sf 4 \end{array}\Big|$

$\sf D_{14}=(-1)\cdot4\cdot4+2\cdot6\cdot2+1\cdot3\cdot0-2\cdot4\cdot1-0\cdot6\cdot(-1)-4\cdot3\cdot2$

$\sf D_{14}=-16+24+0-8+0-24$

$\sf D_{14}=24-48$

$\sf D_{14}=-24$

Assim:

$\sf A_{14}=(-1)^{1+4}\cdot D_{14}$

$\sf A_{14}=(-1)^{5}\cdot(-24)$

$\sf A_{14}=(-1)\cdot(-24)$

$\sf A_{14}=24$

Logo:

$\sf det~(A)=a_{14}\cdot A_{14}$

$\sf det~(A)=3\cdot24$

$\sf \red{det~(A)=72}$