Os conjuntos numéricos evoluíram do conjunto dos números naturais ao conjunto dos números Racionais (Q) pelo fato de:
A) Não ser possível fazer substração no conjunto dos números Naturais (N)
B) Não ser possível fazer somas e multiplicações no conjunto dos números Inteiros (Z)
C) Não ser possível utilizar o sistema de notações Decimal
D) Não ser possível subtrair no conjunto dos números naturais (N) e dividir no conjunto dos números Inteiros (Z).
E) Não ser possível fazer potenciações no conjunto dos números inteiros (Z)
Alguém sabe a resposta?
Soluções para a tarefa
Quando dizemos que um conjunto numérico é fechado em relação a uma certa operação matemática, isso quer dizer que, aplicando tal operação a dois números quaisquer desse conjunto, o resultado sempre será um número desse mesmo conjunto.
Por exemplo, o conjunto dos números naturais é fechado em relação à adição, uma vez que a soma de dois números naturais quaisquer sempre resultará um número natural.
Provar que um conjunto numérico é fechado em relação à uma certa operação exige algumas técnicas que não serão aqui discutidas. O que nos interessa no artigo de hoje é a demonstração de algumas proposições negativas em relação às propriedades de fechamento de um conjunto numérico, por exemplo, a de que "o conjunto dos números naturais não é fechado em relação à subtração".
Do ponto de vista lógico, para demonstrar uma proposição desse tipo, basta exibir um par de números do conjunto que, quando submetidos a tal propriedade, resultam um número que não é do conjunto. No exemplo dado, bastaria exibir a subtração de dois naturais resultando um número que não seja natural, por exemplo, 3-5= -2.
A análise das propriedades de fechamento dos conjuntos numéricos torna-se sensivelmente mais interessante quando investigamos o conjunto dos números irracionais.
Lembra-se do que são números irracionais? São números cuja representação decimal não é exata nem periódica, por exemplo, sen10, log2 etc.
Algumas observações importantes sobre números racionais e irracionais que merecem destaque para o nosso propósito são: 1) se n é um natural não quadrado perfeito, então sua raiz quadrada é irracional; 2) a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão de um número racional por um número irracional resulta sempre um número irracional (excetuando-se produtos e divisões com o número zero); 3) os irracionais não são fechados em relação à cada uma das quatro operações
Você seria capaz de encontrar exemplos para demonstrar a observação 3? Aqui vai a minha ajuda em relação à adição e à divisão:
Quer um problema mais desafiador? Prove que o conjunto dos irracionais não é fechado em relação à potenciação (para isso basta exibir x e y irracionais tais que x elevado a y seja um número racional). Bom trabalho!