Os comprimentos de dois caibros, em decímetro, são expressos por números pares consecutivos. Um marceneiro cortou-os em pedaços de mesmo comprimento e de maior medida inteira possível, em decímetro, obtendo 67 pedaços. Supondo que não houve perda de madeira nos cortes, quais eram os comprimentos dos dois caibros?
Soluções para a tarefa
caibros menor = 2x
caibros maior = 2x + 2
Cada caibro será dividido em pedaços de comprimento k
pedacos m + n = 67
sistema
2x + 2 = m*k
2x = n*k
m + n = 67
4x + 2 = k*(m + n) = 67k
4x = 67k - 2
x = (67k - 2)/4
x = 67k/4 - 2/4
solução inteira com k = 2
x = 67*2/4 - 2/4 = 132/4 = 33
os comprimentos os dois caibros
C1 = 2x = 2*33 = 66 dm
C2 = 2x + 2 = 2*33 + 2 = 68 dm
.
Os comprimentos dos dois caibros eram 66 dm e 68 dm.
Explicação:
Como os comprimentos são expressos por números pares consecutivos, podemos expressar essas medidas assim:
Comprimento do cabo menor: 2x
Comprimento do cabo maior: 2x + 2
Os cabos foram divididos em pedaços de mesmo comprimento k.
Ao todo, foram obtidos 67 pedaços.
Número de pedaços do cabo maior: m
Número de pedaços do cabo maior: n
Logo:
m + n = 67
O comprimento do cabo pode ser expresso como o produto do número de pedaços pelo comprimento de cada pedaço. Logo:
Comprimento do cabo maior: 2x + 2 = m·k
Comprimento do cabo menor: 2x = n·k
{2x + 2 = m·k
+ {2x = n·k
4x + 2 = k·(m+n)
Como (m + n) = 67, temos:
4x + 2 = k·67
4x = 67k - 2
x = 67k - 2
4
x = 67k - 2
4 4
O valor de k é o mdc (máximo divisor comum) dos comprimentos 2x e (2x + 2).
Note: 2x + 2 = 2·(x + 1)
x e (x + 1) são números inteiros consecutivos. Então, os números que representam os comprimentos são primos entre si. Logo, o mdc só pode ser 2.
Portanto, k = 2.
x = 67k - 2
4 4
x = 67·2 - 2
4 4
x = 33,5 - 0,5
x = 33
Os comprimentos são:
2x = 2·33 = 66 dm
2x + 2 = 66 + 2 = 68 dm
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