Os chapéus de aniversário de Claudinho tem a forma de um come circular reto aberto na base. Para confeccionar-Los , o pai de Claudinho desenhou em uma cartolina retangular, 25 circulos congruentes , de forma que dois círculos adjacentes são tangentes e os círculos que estão nas extremidades da cartolina são tangentes a elas, além disso a medida do raio de cada um desses círculos é igual a 21 cm .
a- a porcentagem da area da cartolina que não será utilizada para a confecção dos chápeus.
b- a medida do ângulo central de cada setor circular .
c- a medida da geratriz de cada chapéu.
d- a medida do raio de cada chapéu.
e- a medida da altura de cada chapéu.
f- a medida da área lateral de cada chapéu.
g - a medida do volume de cada chapéu.
Soluções para a tarefa
Nanisamorim,
a. Para obtermos a porcentagem, precisamos obter antes as áreas absolutas da cartolina e dos 25 círculos.
A área da cartolina não utilizada (An) é igual à área total da cartolina (At) menos a área dos 25 círculos (Ac):
A cartolina tem a forma de um quadrado de lado (x) igual à soma dos diâmetros dos 5 círculos (se r = 21, d = 42):
x = 5 × 42 cm
x = 210 cm
At = 210²
At = 44.100 cm²
A área de cada um dos 25 círculos é igual a:
π × r² = 3,14 × 21² = 3,14 × 441 = 1.384,74 cm²
Então, a área dos 25 círculos é igual a:
Ac = 25 × 1.384,74 cm²
Ac = 34.618,50 cm²
E a área da cartolina não utilizada:
An = 44.100 cm² - 34.618,50 cm²
An = 9.481,50 cm²
Agora, precisamos obter a porcentagem desta área com relação à área total da cartolina, para o que vamos fazer uma regra de três:
44.100 ---> 100%
9.481,50 ---> x%
Multiplicando em cruz (os meios e os extremos):
44100x = 9.481,50 × 100
x = 948.150 ÷ 44.100
x = 21,5
R.: A porcentagem da área da cartolina que não será utilizada é igual a 21,5%
b. Ao dividir o círculo em 3 partes iguais, dividiu-se a circunferência toda (360º) em 3 partes iguais. Então, cada setor circular é igual a
360º ÷ 3 = 120º
R.: A medida de cada setor circular é igual a 120º
c. A medida da geratriz de cada chapéu é igual ao raio de cada circunferência: 21 cm
d. Entendo que a pergunta se refira ao raio da base do cone (que é o chapéu). O comprimento desta circunferência é igual a 1/3 do comprimento da circunferência original, de raio igual a 21 cm. Esta, tem o comprimento (c) de:
c = 2 × π × r
c = 2 × 3,14 × 21 cm
c = 131,88 cm
A terça parte deste comprimento é igual a:
131,88 ÷ 3 = 43,96 cm
Obtido o comprimento da base do cone, podemos obter agora o seu raio (r):
c = 2 × π × r
43,96 = 6,28 × r
r = 43,96 ÷ 6,28
r = 7 cm
R.: O raio de cada chapéu é igual a 7 cm
e. A medida da altura de cada chapéu (h) é o cateto de um triângulo retângulo, no qual a hipotenusa é a geratriz (21 cm) e o outro cateto é o raio da base (7 cm). Então, ela pode ser obtida aplicando-se o Teorema de Pitágoras:
21² = 7² + h²
h² = 441 - 49
h² = 392
h = √392
h = 19,8 cm
R.: A altura de cada chapéu é igual a 19,8 cm
f. A área lateral (Al) de cada chapéu é igual à área de cada um dos três setores circulares em que foi dividido cada um dos círculos que deram origem aos chapéus, os quais, por sua vez, foram obtidos pela divisão da área de cada um dos círculos por 3:
Al = 1.384,74 cm² ÷ 3
Al = 461,58 cm²
R.: A área lateral de cada chapéu é igual a 461,58 cm²
g. A medida do volume de cada chapéu (Vc) é igual ao volume de um cone de raio da base igual a 7 cm e altura igual a 19,8 cm:
Vc = Ab × h ÷ 3
Ab é a área da base, que é a área de um círculo de raio igual a 7 cm:
Ab = π × r²
Ab = 3,14 × 7²
Ab = 153,86 cm²
Assim, o volume do chapéu é igual a:
Vc = 153,86 cm² × 19,8 cm ÷ 3
Vc = 1.015,48 cm³
R.: O volume do chapéu é igual a 1.015,48 cm³