Question

Os blocos A (0,30 kg) e B (1,17 kg) estão ligados por um cordão leve que passa por uma roldana de 0,31 kg, conforme mostra a Figura. A roldana pode ser aproximada por cilindro maciço de raio 2,0 cm. O atrito entre o bloco B e a mesa, bem como o atrito na roldana, é desprezível. O sistema é solto do repouso no instante t=0 . Admitindo que o cordão não deslize, qual é a velocidade (em m/s) do bloco B após percorrer 0,16 m?

Answer 1

⇒     Aplicando nossos conhecimentos sobre Dinâmica do Movimento de Rotação, concluímos que a velocidade do bloco B após percorrer  0,16 m  é  0,76 m/s.

Vamos encontrar a aceleração do bloco B através da Dinâmica das Rotações. Com a aceleração, usaremos a equação de Torricelli para encontrar a velocidade.

Os blocos possuem aceleração linear, e a roldana, angular. Portanto usaremos   $\sum \vec{F}=m\vec{a}$  nos blocos, e   $\sum \tau_z=I\alpha_z$  na roldana. Como o cordão não desliza, temos ainda a relação   $v=\omega R \Rightarrow a=\alpha_zR$ . O momento de inércia para um cilindro maciço de raio   $R$  e massa   $M$ , em relação a um eixo que passa pelo seu centro, é   $I=\frac{1}{2}MR^2$ . Considere um eixo x positivo para a esquerda para o bloco B, e um eixo y positivo pra baixo para o bloco A. E adotaremos o sentido anti-horário como positivo para a rotação.

➜     Para o bloco A,   $\sum F_y=m_Ag-T_A=m_Aa \ \ \ ...(1)$

➜     Para o bloco B,   $\sum F_x=T_B=m_Ba \ \ \ ...(2)$

➜     Para a roldana,   $\sum \tau_z=T_AR-T_BR=R(T_A-T_B)=I\alpha_z=\frac{1}{2}MaR$

ou   $T_A-T_B=\frac{1}{2}Ma \ \ \ ...(3)$

Somando  ( 1 )  e  ( 2 ), encontramos

$m_Ag=a(m_A+m_B)+T_A-T_B \ \ \ \ ...(4)$

Substituindo  ( 3 )  em  ( 4 ):

$m_Ag=a(m_A+m_B)+\frac{1}{2}Ma=a(m_A+m_B+\frac{1}{2}M)$

ou   $a=\frac{m_Ag}{m_A+m_B+\frac{1}{2}M}=\frac{0,3\cdot 9,8}{0,3+1,17+\frac{0.31}{2}}=1,8 \ m/s^2$

∴     Pela equação de Torricelli, a velocidade do bloco B após percorrer 0,16 m é

$v^2={v_0}^2+2a\Delta x \Rightarrow v=\sqrt{2\cdot 1,8 \cdot 0,16}=0,76 \ m/s$

∴     A velocidade do bloco do B é  0,76 m/s  ✍️

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