os biologos colocaram em um lago 400 peixes e estimaram a capacidade suporte a população máxima de peixes daquela espécie no lago como 10000. O número de peixes triplicou no primeiro ano.
a) Presumindo que o tamanho da população de peixes satisfaça a equação logistica, encontre um expressão para o tamanho da população depois de t anos?
b) quento tempo levará para a que a população aumente para 5000 peixes?
Soluções para a tarefa
a) Temos que a capacidade máxima de suporte K = 10000 peixes e a população inicial de peixes no lago é P(0) = 400 peixes.
Sabemos que a função logística ou uma curva logística sigmoide é dada pela função:
f(x) = K / 1 + A*e^-k*(x-x0)
Onde e = número de Euler
x0 = x no ponto médio da curva logística
K = o valor máximo da curva
A = a declividade da curva.
Sendo assim, temos:
P(t) = K / 1 + A*e^-k*(x-x0)
P(0) = 400
A = K - P(0)/P(0), pois e^-k*(x-x0) - e^-k*0 = 1
A = 10000 - 400 / 400
A = 24
Portanto:
P(t) = 10000 / 1 + 24*e^-k*(x-x0), sendo x - x0 = t, temos:
P(t) = 10000 / 1 + 24*e^-k*t
P(t) = 10000 / 1 + 24*e^-k*t
Como P(1) = 1200
1200 = 10000 / 1 + 24*e^-k*t
1 + 24*e^-k*1 = 10000/1200
1 + 24*e^-k = 8,3333
24*e^-k = 7,3333
e^-k = 0,0305555
-k = ln0,0305555
k = 1,1856
Portanto, a equação logística em função de t anos é dada por:
P(t) = 10000 / 1 + 24*e^-1,1856*t
b) quento tempo levará para a que a população aumente para 5000 peixes?
P(t) = 5000
5000 = 10000 / 1 + 24*e^-1,1856*t
10000/5000 = 1 + 24*e^-1,1856*t
2 - 1 = 24*e^-1,1856*t
1/24 = e^-1,1856*t
0,04166 = e^-1,1856*t
ln0,04166 = -1,1856*t
-3,1782 = -1,1856*t
t = -3,1782/-1,1856
t = 2,68 anos.
Abraços!