Question

Os ângulos 1, 2, 3, ⋯ , 100 são os termos de uma progressão aritmética na qual

11 + 26 + 75 + 90 = $\frac{\pi}{4}$.

Answer 1

Questão bem complexa essa. Ela é de Vestibular Militar? Enfim:

Através da fórmula de termos de um P.A., obtemos:

θₙ = θ₁ + (n - 1).r

Substituindo Teta n por 11, 26, 75 e 90 obtemos:

θ₉₀ = θ₁ + 89.r

θ₇₅= θ₁ + 74.r

θ₂₆ = θ₁ + 25.r

θ₁₁ = θ₁ + 10.r

Ou seja:

4.θ₁ + 198.r = π/4

Quanto a ∑, o primeiro elemento θ₁ é igual a:

θ₁ = θ₁ + (1-1).r

θ₁ = θ₁

E o último elemento θ₁₀₀ é igual a:

θ₁₀₀= θ₁ + (100-1).r

θ₁₀₀= θ₁ + 99.r

Usando a propriedade de que a soma do primeiro elemento de uma P.A. com o último é igual a soma do segundo com o penúltimo que é igual da soma do terceiro com antepenúltimo e assim por diante, obtemos que:

∑ = 50.2.θ₁ + 50.99.r = 100.θ₁ + 4950.r

Já que 4.θ₁ + 198.r  é a soma de 4 elementos da P.A. (que possui 100), Podemos equalizar as duas equações multiplicando 4.θ₁ + 198.r por 25:

100.θ₁ + 4950.r = 25.(4.θ₁ + 198.r)

Já que 4.θ₁ + 198.r = π/4, obtemos:

100.θ₁ + 4950.r = 25.π/4

No ciclo trigonométrico, 25π/4 = π/4:

Sen(π/4) = $\frac{\sqrt{2} }{2}$

Resposta: Letra D