Question

os alunos resolveram se cadastrar em um site com exercícios para estudarem para os simulados que estão por vir porém para cadastrarem-se nesse site eles precisam escolher uma senha composta por quatro caracteres sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). as letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Eles sabem que o alfabeto é composto por 26 letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha. qual o número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site?​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Há $\sf \dfrac{4!}{2!\cdot2!}=\dfrac{24}{2\cdot2}=\dfrac{24}{4}=6$ ordens possíveis para os algarismos e as letras (AALL, LLAA, ALAL, LALA, ALLA, LAAL), em que L representa uma letra e A representa um algarismo.

=> Algarismos: há 10 possibilidades para cada algarismo (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9)

=> Letras: há 52 possibilidades para cada letra (as 26 letras maiúsculas e as 26 minúsculas)

O número total de senhas possíveis é:

=> 6 x 10 x 10 x 52 x 52 = 1.622.400

Answer 2

Resposta:

Existirão 1.621.776 opções de senhas distintas.

Explicação passo-a-passo:

Para esse caso temos um exercício de combinação com repetição, para a seleção de 2 números entre 10 e de 2 letras entre 52 (26 maiúsculas e 26 minúsculas), além disso temos também um exercício de permutação, pois deveriamos encontrar todos os "anagramas" compostos pelas 2 letras e 2 numeros, ou seja 4 elementos.

para a combinação com repetição temos a seguinte fórmula:

$C_{n+k-1,k}=\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$

em que n é a quantidade de elementos, k a quantidade de opções que podem ter as repetições.

para os numeros teremos:

$C_{10+2-1,2}=\frac{(10+2-1)!}{2!(10-1)!}=\frac{(11)!}{2!9!}=\frac{11.10}{2}=11.5=55$; sendo 10 combinações as com repetições.

para as letras teremos:

$C_{52+2-1,2}=\frac{(52+2-1)!}{2!(52-1)!}=\frac{(53)!}{2!51!}=\frac{53.52}{2}=53.26 = 1378$; sendo 52 combinações com repetições.

então para as senhas sem repetições de numeros ou letras teremos

a permuta entre 4 elementos basta calcular:

$P_{n}=n! = 4!=24$

como resultado, basta multiplicarmos os três valores encontrados, pois teremos essas três condições sendo atendidas ao mesmo tempo:

(55-10).(1378-52).24 = 1.432.080

para os casos em que há as repetições de letras e não há repetições de numeros teremos, ou para os casos em que há repetiçã ode numero mas não há repetição de letras teremos metade das opções anteriores de combinações, pois dois elemetos serão iguais, então teremos:

letras repetidas: (55-10).52.12 = 27.456

numeros repetidos: 10.(1378-52).12 = 159.120

para os casos em que tanto numeros e letras estão repetidos, teremos um quarto das opções de combinações sem repetição, então teremos:

10.52.6 = 3.120

somando todos os resultados teremos:

1.432.080+27.456+159.120+3.120 = 1.621.776