Matemática, perguntado por peroladiniz, 11 meses atrás

Os alunos pré-egressos do campus Jaboatão dos Guararapes resolveram ir até a Lagoa Azul para celebrar a conclusão dos cursos. Raissa, uma das participantes do evento, ficou curiosa pra descobrir a altura do paredão rochoso que envolve a lagoa. Então pegou em sua mochila um transferidor e estimou o ângulo no ponto A, na margem onde estava, e, após nadar, aproximadamente, 70 metros em linha reta em direção ao paredão, estimou o ângulo no ponto B, conforme mostra a figura a seguir:

De acordo com os dados coletados por Raissa, qual a altura do paredão rochoso da Lagoa Azul?
Dados: sen(17°)=0,29, tan(17°)=0,30, cos(27°)=0,89e tan(27°)=0,51.

a)50 metros.
b)51 metros.
c)89 metros.
d)70 metros.
e)29 metros

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Trel

235

Olá.

Para responder essa questão, nomeei alguns dos lados dos triângulos, como demonstrado em anexo.

Para chegar a resposta, podemos usar apenas as tangentes. A tangente de um triângulo pode ser obtida através do quociente entre o cateto oposto (paredão, ou b) e o cateto adjacente (está localizado na parte inferior). Algebricamente, no caso das duas tangentes, teremos:

$\mathsf{tg~\alpha=\dfrac{cateto~oposto}{cateto~adjacente}}\\\\\\ \mathsf{tg~17^{\circ}=\dfrac{b}{x+70}~~\therefore~~tg~27^{\circ}=\dfrac{b}{x}}$

Vamos aos cálculos, substituindo o valor das tangentes, primeiro buscando isolar um valor para b e depois para o x. Tendo o valor de x encontramos b (o paredão, que desejamos).

$\mathsf{tg~17^{\circ}=\dfrac{b}{x+70}}\\\\\\ \mathsf{0,3=\dfrac{b}{x+70}}\\\\\\ \mathsf{0,3\cdot(x+70)=b}\\\\ \mathsf{0,3x+21=b}$

Calculando com a outra tangente, teremos:

$\mathsf{tg~27^{\circ}=\dfrac{b}{x}}\\\\\\ \mathsf{0,51=\dfrac{0,3x+21}{x}}\\\\\\ \mathsf{0,51\cdot x=0,3x+21}\\\\ \mathsf{0,51x=0,3x+21}\\\\ \mathsf{0,51x-0,3x=21}\\\\ \mathsf{0,21x=21}\\\\ \mathsf{x=21\div0,21}\\\\ \mathsf{x=21\div\dfrac{21}{100}}\\\\\\ \mathsf{x=21\cdot\dfrac{100}{21}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{21\cdot100}{21}}\\\\\\ \mathsf{x=100}$

Substituindo o valor de x no valor isolado para b, teremos:

$\mathsf{b=0,3x+21}\\\\ \mathsf{b=0,3\cdot100+21}\\\\ \mathsf{b=30+21}\\\\ \mathsf{b=51}$

Com base no que foi mostrado, podemos afirmar que a resposta correta está na alternativa B.

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos $.$

Anexos:

Respondido por andre19santos

A altura do paredão rochoso da Lagoa Azul é de 51 metros, alternativa B.

Esta questão se trata de triângulos retângulos.

Utilizando as relações trigonométricas, podemos calcular as medidas da hipotenusa ou dos catetos, assim como os ângulos internos do triângulo:

sen θ = cateto oposto/hipotenusa

cos θ = cateto adjacente/hipotenusa

tan θ = cateto oposto/cateto adjacente

No que ambos os triângulos possuem o mesmo cateto oposto (o paredão, representado por P) e diferentes catetos adjacentes. Seja x a medida do cateto adjacente do triângulo de ângulo 17°:

tg 17° = P/x

tg 27° = P/(x - 70)

Igualando as equações em P, temos:

x·tg 17° = (x - 70)·tg 27°

0,3x = 0,51x - 35,7

0,21x = 35,7

x = 170 m

Portanto, a altura do paredão é:

0,3 = P/170

P = 51 m

Leia mais sobre triângulos em:

https://brainly.com.br/tarefa/40459690