Question

Os afixos das raízes quartas de 9 foram representados em um plano complexo. Calcule a área do polígono convexo com vértices nesses afixos.
A 3
B 2√3
C 6
D 9
E 12

Answer 1

Resposta:

A área do quadrado formado pelos afixos dos complexos que são raízes quartas de 9 vale 6 u.a.

Explicação passo a passo:

Para encontrar os afixos das raízes precisamos determinar as raízes quartas do complexo z = 9. Para isso, podemos analisar da seguinte forma:

- As raízes de um complexo formam sempre um polígono regular (n ≥ 3).

- Como o polígono é regular o ângulo central é igual a 360º/n

- Cada raiz é sofre uma rotação de acordo com o valor do ângulo central.

Com base nessas informações:

1º passo: Colocar o complexo z = 9 na forma trigonométrica.

z = 9 cis 0º

2º passo: Como queremos as raízes quartas, o ângulo central é 360º/4 = 90º

3º passo: Determinar a 1ª raiz do complexo, extraindo a raiz do módulo e dividindo o argumento por 4 e em seguida as demais raízes efetuando a rotação de 90º (somando 90º) ao argumento da 1ª raiz.

$z_0=\sqrt[4]{9} \ cis \ 0^{\circ}=\sqrt{3} \ cis \ 0^{\circ}\\\\z_1=\sqrt[4]{9} \ cis \ 90^{\circ}=\sqrt{3} \ cis \ 90^{\circ}\\\\z_2=\sqrt[4]{9} \ cis \ 180^{\circ}=\sqrt{3} \ cis \ 180^{\circ}\\\\z_3=\sqrt[4]{9} \ cis \ 270^{\circ}=\sqrt{3} \ cis \ 270^{\circ}$

Podemos observar que as raízes são diametralmente opostas e como formam um quadrado temos que a medida da sua diagonal vale 2√3. Portanto seu lado vale:

d = l√2

2√3 = l√2

l = √6

Cuja área é:

A = l²

A = (√6)²

A = 6 u.a.