Question

Ortonormalize a base {1; 1 + t; 2t²}

Answer 1

Olá, Liziam.

Para ortonormalizar uma base devemos utilizar o Processo de Gram-Schmidt (neste caso, aplicado a polinômios) para ortogonalizá-la e, após, normalizá-la.

$\{v_1(t),v_2(t),v_3(t)\}=\{1, 1 + t, 2t\²\}\\\\\boxed{u_1(t) = v_1(t) = 1}$

$u_2(t) = v_2(t) - \frac{\overbrace{<v_2(t),u_1(t)>}^{\text{produto interno}}}{<u_1(t),u_1(t)>}\cdot u_1(t)=\\\\=v_2(t) - \frac{\int\limits_{-1}^{1}v_2(t)u_1(t)\,dt}{\int\limits_{-1}^{1}u_1(t)u_1(t)\,dt}\cdot u_1(t)=\\\\=1+t-\frac{\int\limits_{-1}^{1}(1+t)\cdot 1\,dt}{\int\limits_{-1}^{1}1\cdot1\,dt}\cdot1=\\\\=1+t-\frac{t|_{-1}^{1}+\frac{t^2}2|_{-1}^{1}}{t|_{-1}^{1}}=\\\\=1+t-\frac{1-(-1)+\frac12-\frac12}{1-(-1)}=\\\\=1+t-\frac22=$

$\Rightarrow \boxed{u_2(t)=t}$

$\boxed{u_3(t)=v_3(t) - \frac{<v_3(t),u_1(t)>}{<u_1(t),u_1(t)>}\cdot u_1(t) - \frac{<v_3(t),u_2(t)>}{<u_2(t),u_2(t)>}\cdot u_2(t)}$

O cálculo de  $u_3(t),$  semelhante ao de $u_2(t),$  fica por sua conta.  :)

Obtida a base de polinômios ortogonais  $\{u_1(t),u_2(t),u_3(t)\},$  resta agora normalizá-la.

Para normalizar a base, cada um dos polinômios da base  $u_1(t),u_2(t),u_3(t)$  deve ser dividido por sua norma.

A norma para polinômios é dada por:

$||u||^2 = \int\limits_{-1}^1 [u(x)]^2\,dx$

Assim, a base ortonormalizada é dada por:

$\{\frac{u_1(t)}{||u_1(t)||},\frac{u_2(t)}{||u_2(t)||},\frac{u_3(t)}{||u_3(t)||}\}$

Os cálculos relativos à normalização acima ficam também por sua conta.  :)