Question

oque são restrições algébricas?

Answer 1

Neste artigo considera-se o problema de síntese H¥ de sistemas com restrições algébricas em tempo discreto e contínuo. Condições necessárias e suficientes descritas como Desigualdades Matriciais Lineares (LMIs) são apresentadas no caso de realimentação de estados, e apenas suficientes para o caso de realimentação de saída. Apresenta-se também métodos para a síntese de controladores H¥ para o caso de sistemas algébricos diferenciais sujeito a incertezas politópicas. Palavras-chave: Sistema descritor, LMI, controle H¥ ABSTRACT In this paper we consider the H¥ control problem for systems with algebraic constraints in the states. The discrete and continuous time cases are considered. Necessary and sufficient LMI conditions are presented for state feedback control problems, and only sufficient LMI conditions for output feedback. The results are also extended to cope with systems having algebraic constraints and politopic uncertainties. Keywords: Descriptor System, LMI, H¥ control 1 INTRODUÇÃO Sistemas com restrições algébricas ou sistemas descritores são modelados matematicamente por um conjunto de equações algébricas e diferenciais e aparecem com freqüência em diversas áreas, como por exemplo, sistemas robóticos (Krishnan and McClamroch, 1994), sistemas de potência (Hill and Mareels, 1990; Scavone et al., 1998) e sistemas econômicos (Leontief, 1953). Nas últimas décadas, o desenvolvimento da teoria de controle para esta classe de sistemas tem tido uma grande atenção, veja por exemplo Cobb (1984), Lewis (1986), Barbosa and Trofino (2002), Takaba et al. (1994), Wen and Yaling (1993), Bender and J.Laub (1987), e referências destes. O problema de rejeição de perturbação também vem sendo amplamente estudado com a publicação de diversos trabalhos, entre eles pode-se citar o caso de custo quadrático dado em Bender and J.Laub (1987) e os critérios de norma H2 e H¥, que são geralmente resolvidos através de uma equação de Riccati generalizada, no caso contínuo, dado por Takaba et al. (1994), Wen and Yaling (1993); e no caso discreto, por Chen and Lee (1999). Com o avanço dos recursos computacionais e a publicação de importantes trabalhos na área de otimização, técnicas baseadas em Desigualdades Matriciais Lineares (LMIs) para a solução do problema H¥ no contexto de sistemas apenas diferenciais vêm sendo amplamente estudadas (veja por exemplo Gahinet and Apkarian (1994); Boyd et al. (1994)). No caso de sistemas com restrições algébricas, cita-se o trabalho de Masubuchi et al. (1997) que resolve o problema H¥ através de desigualdades lineares, partindo da definição de estabilidade dada em Takaba et al. (1994) para sistemas a tempo contínuo. Nesta referência os resultados envolvem restrições de desigualdades não estritas, o que torna mais custoso a busca de soluções numéricas. O resultado proposto em Uezato and Ikeda (1999) busca eliminar a necessidade da condição de igualdade do resultado, obtendo assim condições LMIs estritas para a solução do problema. Propõe-se aqui uma solução para o problema H¥ através de LMIs de uma forma similar ao resultado proposto por Masubuchi et al. (1997). Porém, as condições agora são obtidas através do Lema de Finsler (Boyd et al., 1994), sendo possível descrevê-las como desigualdades estritas. Condições necessárias e suficientes são propostas para o caso de síntese H¥ via realimentação de estados em tempo contínuo e discreto. O problema de realimentação de saída também será considerado e, neste caso, as condições propostas são apenas suficientes. O resultado é aplicado também a sistemas incertos, com incertezas politópicas. O artigo está estruturado da seguinte forma. Na seção definem-se matematicamente sistemas com restrições algébricas e norma H¥. Na seção , o problema H¥ para sistemas com restrições algébricas a tempo contínuo é abordado, o caso discreto é tratado na seção 4. Uma aplicação numérica é apresentada na seção 5. Comentários finais são apresentados na seção 6. A seguinte notação é usada no artigo: assume-se que representa um politopo convexo de vértices Wi dados e que as desigualdades matriciais do tipo P > 0 (P > 0) indicam que a matriz P é positiva definida (positiva semi-definida), isto é, simétrica com todos os autovalores positivos (positivos ou nulos). Em uma matriz simétrica, o símbolo * é usado para representar os elementos que podem ser deduzidos por simetria. 2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA Considera-se o seguinte sistema na forma algébrico-diferencial: onde x Î Rn é o vetor de estados, z Î Rm é a variável algébrica, u Î é a variável de controle, w Î Rl é a variável de perturbação e z2 Î Rq é a saída ou sinal de desempenho. Definição 2.1 (Sistema Admissível) O sistema (1) é dito ser admissível se a matriz J4 for inversível