Question

Oncologistas são médicos que se especializam no estudo e tratamento de tumores. Eles usam os exames de sangue, exame físico, exame do tecido, e radiografias (raios-x, ultrassonografia, tomografia computadorizada e ressonância magnética) para identificar o tipo, tamanho e extensão da disseminação de um tumor.
Os oncologistas usam a curva de crescimento da população de células cancerosas em um
tumor para determinar o momento e o tipo de tratamento de um tumor maligno. Quando o tumor está nas fases iniciais de desenvolvimento, os médicos utilizam uma curva de crescimento exponencial para modelar o seu crescimento. Eles se referem ao "tempo de duplicação" que é característica de tumores específicos.
O câncer da mama tem início quando uma célula sadia se torna maligna. O “tempo de duplicação” médio de uma célula cancerosa é de cem dias.
Imaginemos que hoje (tempo 0) a célula sadia torna-se maligna. Daqui a 100 dias teremos duas células com câncer. Daqui a 200 dias, teremos quatro células com câncer.
Em quanto tempo, aproximadamente, o número de células com câncer atingirá o número 1 000 000?
Considere log 2 = 0,3
a) 5 anos e 10 meses.
b) 5 anos e 6 meses.
c) 5 anos.
d) 4 anos e 10 meses.
e) 6 anos.

Answer 1

“tempo de duplicação” médio de uma célula cancerosa é de cem dias

logo a função procurada é 
$\boxed{f(t)=N_0 *2^{ \frac{t}{100} }}$

com t dado em dias..
em t=0 temos uma célula que se tornou maligna 
então No = 1

$f(t)=2^ \frac{t}{100}$

"Em quanto tempo, aproximadamente, o número de células com câncer atingirá o número 1 000 000?"

calculando o tempo para f(t) =1 000 000 
$100000=2^{ \frac{t}{100} }\\\\log(100000) = log(2^{\frac{t}{100} })\\\\ log(10^6)=\frac{t}{100} *log(2)\\\\6*log(10)=\frac{t}{100} *log(2)\\\\6*1 = \frac{t}{100}*0,3\\\\6= \frac{t}{100}* \frac{3}{10}\\\\6= \frac{3t}{1000} \\\\ \frac{6*1000}{3}=t\\\\\boxed{2000 = t }$

após 2000 dias o cancer irá atingir 1 000 000 

1 ano = 365 dias
x anos = 2000 dias

$x= \frac{2000}{360} = 5,47 \;anos$

5,47 anos = 5 anos + 47% de um ano

como 1 ano tem 12 meses
47% de 12 = 12*0,47 = 5,64 meses -> aproximadamente 6 meses

resposta B

Answer 2

Seja t o tempo em dias, a função exponencial que representa o número de células com câncer(N) é:

$N= 2^{ \frac{t}{100}$

Quando N = 1000000 temos:

$10^6=2^ \frac{t}{100} \\\\ log\ 10^6=log\ 2^\frac{t}{100}\\\\ 6*log\ 10= \frac{t}{100}*log\ 2\\\\ 6*1= \frac{t}{100}*0,3\\\\ t= \frac{600}{0,3}= 2000\ dias$

2000 dias é aproximadamente 5 anos e 6 meses.

b) 5 anos e 6 meses.