Question

Oliver investiu R$ 970 em uma conta que paga uma taxa de juros de 7 1/2% composta continuamente. Carson investiu R$ 970 em uma conta que paga uma taxa de juros de 7 3/8% composta anualmente. Aproximadamente ao centésimo de ano, quanto mais demoraria para o dinheiro de Carson dobrar do que para o dinheiro de Oliver dobrar?

Por favor!!!!​

Answer 1

Cerca de 0,50 ou meio ano a mais para dobrar do que o dinheiro de Oliver.

Podemos escrever uma equação para modelar os investimentos em bot.

Oliver investiu R$ 970 em uma conta que paga uma taxa de juros de 7,5% composta continuamente.

Lembre-se de que o composto contínuo é dado pela equação:

$A = Pe ^ {rt}$

Onde A é a quantia posteriormente, P é a quantia principal, r é a taxa e t é o tempo em anos.

Uma vez que o investimento inicial é de R$ 970 a uma taxa de 7,5%:

$A = 970e ^ {0,075t}$

Carson investiu R$ 970 em uma conta que paga uma taxa de juros de 7,375% composta anualmente.

Lembre-se de que os juros compostos são dados pela equação:

$\displaystyle A = P \left (1+ \frac {r} {n} \right) ^ {nt}$

Onde A é a quantia posteriormente, P é a quantia principal, r é a taxa, n é o número de vezes composto por ano e t é o tempo em anos.

Uma vez que o investimento inicial é de R$ 970 a uma taxa de 7,375% composta anualmente:

$\begin{gathered} \displaystyle A = 970 \left (1+ \frac {0.07375} {1} \right) ^ {(1) t} = 970 (1.07375) ^ t \end{gathered}$

Quando o dinheiro de Oliver dobrar, ele terá R$ 1.940 depois. Por isso:

$1940 = 970e ^ {0,075t}$

Resolva para t:

$\displaystyle 2 = e ^ {0,075t}$

Pegue o log natural de ambos os lados:

$\left (2 \right) = \left (e ^ {0,075t} \right)$

Simplifique:

$(2) = 0,075t$ → $\displaystyle t = \frac {(2)} {0,075} \ anos$

Quando o dinheiro de Carson dobrar, ele terá R$ 1.940 depois. Por isso:

$\displaystyle 1940 = 970 (1.07375) ^ t$

Resolva para t:

$2 = (1,07375) ^ t$

Pegue o log natural de ambos os lados:

$(2) = \left ((1.07375) ^ t \right)$

Simplifique:

$(2) = t \left ((1.07375) \right)$

Por isso:

$\displaystyle t = \frac {(2)} {(1.07375)}$

Então, o dinheiro de Carson será necessário:

$\begin{gathered} \displaystyle \Delta t = \frac {(2)} {(1,07375)} - \frac {(2)} {0,075} = 0,499 = \boxed{0,50} \end{gathered}$

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