Question

Olá , será que vc's poderiam mim ajudar ??

-Calcule:
a) (1 - i)²  
b) (1 + i)^1024 (Obs.: é elevado à 1024)  
c) i^236 + i^259 + i^526 + i^855 (Obs.: i é elevado à 236,259,526 e 855)

Answer 1

Quando i tem um expoente muito elevado, podemos dividir esse expoente por 4, tomando o resto da divisão como o novo expoente de i

$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\\(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\\\\(a^{x})^{y}<=>a^{x*y}$
_____________________________

a)

$(1 - i)^{2}=1^{2}-2*1*i + i^{2}\\(1 - i)^{2} = 1 - 2i - 1\\(1 - i)^{2} = - 2i$

b)

$(1 + i)^{1024} = [(1 + i)^{2}]^{512}$

$(1 + i)^{2} = 1^{2} + 2*1*i + i^{2}\\(1 + i)^{2}=1 + 2i - 1\\(1 + i)^{2} = 2i$

$[(1 + i)^{2}]^{512}=[2i]^{512}$
$[(1 + i)^{2}]^{512}=2^{512}*i^{512}$

$512\div 4 = 128 + 0~resto$

$i^{512}=i^{0}=1$

$[(1 + i)^{2}]^{512}=2^{512}*1$
$[(1 + i)^{2}]^{512}=2^{512}$

c)

$i^{236} + i^{259} + i^{526} + i^{855}$

$236\div 4 =59+0~resto\\259\div4=64+3~resto\\526\div4=131+2~resto\\855\div4=213+3~resto$

$i^{236}=i^{0}=1\\i^{529}=i^{3}=i^{2}*i=(-1)*i=-i\\i^{526}=i^{2}=-1\\i^{855}=i^{3}=-i$

$i^{236} + i^{259} + i^{526} + i^{855}=1-i-1-i\\i^{236} + i^{259} + i^{526} + i^{855}=-2i$