Question

Olá, Quero uma força!!
Uma bola de neve esférica é formada de tal maneira que o seu volume aumente à razão de 8cm³/min.
Com que velocidade aumenta o raio no instante em que a bola tem 4cm de diâmetro?

Answer 1

Bom, de acordo com o enunciado... A esfera aumenta de volume á uma taxa de 8cm³/min.

Fórmula para volume da esfera = 1/3*πR³/3

Derivada do volume em relação ao tempo:
Dv/dt = 1/3*4π3r².DR/DT  (1/3. 4 e π são constantes, nos restando apenas derivar o R em relação a t)

Como o problema informa que o volume aumenta á uma taxa de 8cm³/min, vamos relacionar isso á derivada encontrada.

8 = 1/3*4π3r².dr/dt (vamos simplificar e anular os dois 3 que estão multiplicando e dividindo)

8 = 4πR².dr/dt

O problema pede a taxa que o RAIO varia, quando a bola tem 4cm de DIÂMETRO, ou seja, usaremos 2cm de raio (metade do diâmetro).

8 = 4π(2)².dr/dt
8 = 4π4.dr/dt
8 = 16π.dr/dt
dr/dt = 8/16π
dr/dt = 1/2π

Ou seja, a variação do raio, no instante pedido, será de 1/2π cm/min

Answer 2

Dados:

$\boxed{\mathtt{\dfrac{dV}{dt}=8~{cm}^{3}/min}}\\\boxed{\mathtt{d=4cm\to\,R=2cm}}}\\\boxed{\mathtt{\dfrac{dR}{dt}=?}}$

Solução:

$\mathtt{V=\dfrac{4}{3}\pi{R}^{3}}\\\mathtt{\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{4}{3}\pi.3{R}^{2}.\dfrac{dR}{dt}}$

$\mathtt{\dfrac{dR}{dt}=\dfrac{3}{3\pi4{R}^{2}}\dfrac{dV}{dt}}$

$\mathtt{\dfrac{dR}{dt}=\dfrac{1}{4\pi.{2}^{2}}.8}$

$\huge\boxed{\boxed{\mathtt{\dfrac{dR}{dt}=\dfrac{1}{2\pi}~m/min}}}$