Question

Olá, quem puder me ajudar preciso resolver essas duas questões...

Answer 1

Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a função definida por:

$f(x) = \begin{cases}x, & \textrm{se } x < 0 \\ x^2 - 1, & \textrm{se } x \geq 0 \end{cases}.$

Calculamos primeiro os limites laterais em $x = 0$:

$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} (x^2 - 1) = 0^2 - 1 = -1.$

$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} x = 0.$

Como os limites são diferentes, concluímos que:

$\lim\limits_{x \to 0} f(x) \textrm{ n\~{a}o existe.}$

Consequentemente, a função $f$ não é contínua em $x = 0$.

Como sabemos uma função diferenciável num ponto é necessariamente contínua nesse ponto. Por contraposição, uma função que não seja contínua num ponto, não pode ser diferenciável nesse ponto.

Assim, $f$ não é diferenciável em $x = 0$.

Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a função definida por:

$f(x) = \begin{cases}x+1, & \textrm{se } x \leq -1 \\ \frac{1}{x-3}, & \textrm{se } x > -1 \end{cases}.$

Calculamos os limites laterais em $x = -1$:

$\lim\limits_{x \to -1^+} f(x) = \lim\limits_{x \to -1^+} \dfrac{1}{x-3} = \dfrac{1}{-1-3} = -\dfrac{1}{4}.$

$\lim\limits_{x \to -1^-} f(x) = \lim\limits_{x \to -1^-} (x+1) = -1 + 1 = 0.$

Como os limites são diferentes, concluímos que:

$\lim\limits_{x \to -1} f(x) \textrm{ n\~{a}o existe.}$

Consequentemente, a função $f$ não é contínua em $x = -1$ e a descontinuidade é de salto.

[Nota: o domínio da função é $\mathbb{R}$, contudo na definição dada não está definida a imagem $f(-1)$. Na definição acima, admitiu-se que $f(-1) = 0$. Uma vez que não existe $\lim\limits_{x \to -1}f(x)$, a função é imediatamente descontínua, pelo que o raciocínio acima continua válido. Se o limite existisse, então seria necessário comparar o seu valor com $f(-1)$, que não está definida.]