Question

Olá,

por favor, poderiam me ajudar com o cálculo do valor dos pontos de inflexão, ponto máximo e mínimo da função abaixo?

y = $\frac{3}{4}(x^2-1)^\frac{2}{3}$

Answer 1

Resposta:

Ponto Maximo: (0, 3/4)

Ponto Minimo: não tem

Ponto Inflexao: (raiz(3), (3/4).raizcub(4))

Explicação passo-a-passo:

Pra obter o ponto max ou min, devemos derivar a função e igualar a 0.

Logo:

f(x) = (3/4).(x^2 - 1)^(2/3)

f'(x) = (2/3).{(3/4).(x^2 - 1)^(2/3 - 1)}.(2x - 0)

f'(x) = {(2/4).(x^2 - 1)^((2-3)/3)}.2x

f'(x) = 2x.(1/2).(x^2 - 1)^(-1/3)

f'(x) = x.(x^2 - 1)^(-1/3)

f'(x) = x/[(x^2 - 1)^(1/3)]

Fazendo f'(x)=0, temos que:

0 = x/[(x^2 - 1)^(1/3)]

x= 0.[(x^2 - 1)^(1/3)]

x= 0

Logo, para x=0 temos:

f(0) = (3/4).(0^2 - 1)^(2/3)

f(0) = (3/4).(- 1)^(2/3)

f(0) = (3/4).[(- 1)^(2)]^(1/3)

f(0) = (3/4).[1]^(1/3)

f(0) = (3/4).1

f(0) = 3/4

Logo, o ponto (0, 3/4) é um ponto de Max ou Min. Pra verificar se é um Max ponto ou Min ponto, vamos pegar 2 valores na vizinhança de x e ver como se comporta y.

Para x=-1:

f(-1) = (3/4).((-1)^2 - 1)^(2/3)

f(-1) = (3/4).(1^2 - 1)^(2/3)

f(-1) = (3/4).(0)^(2/3)

f(-1) = (3/4).0

f(-1) = 0

Para x=-1:

f(1) = (3/4).(1^2 - 1)^(2/3)

f(1) = (3/4).(1 - 1)^(2/3)

f(1) = (3/4).(0)^(2/3)

f(1) = (3/4).0

f(1) = 0

Logo, como f(-1)<f(0) e f(1)<f(0), podemos concluir que o ponto (0, 3/4) é um ponto de máximo, e que a função não tem ponto de mínimo.

Pra obter o ponto de Inflexao da função, devemos calcular a derivada segunda da mesma e igualar a 0.

Logo:

f'(x) = x.(x^2 - 1)^(-1/3)

f''(x) = 1.(x^2 - 1)^(-1/3) + x.{(-1/3).(x^2 - 1)^(-1/3 -1)}.(2x - 0)

f''(x) = (x^2 - 1)^(-1/3) + x.{(-1/3).(x^2 - 1)^((-1 -3)/3)}.2x

f''(x) = (x^2 - 1)^(-1/3) + (2.x^2).{(-1/3).(x^2 - 1)^(-4/3)}

f''(x) = (x^2 - 1)^(-1/3) - (2/3).(x^2).(x^2 - 1)^(-4/3)

Fazendo f''(x) =0:

0 = (x^2 - 1)^(-1/3) - (2/3).(x^2).(x^2 - 1)^(-4/3)

(2/3).(x^2).(x^2 - 1)^(-4/3) = (x^2 - 1)^(-1/3)

(2/3).(x^2) = {(x^2 - 1)^(-1/3)} / {(x^2 - 1)^(-4/3)}

(2/3).(x^2) = (x^2 - 1)^(-1/3 - (-4/3))

(2/3).(x^2) = (x^2 - 1)^(-1/3 + 4/3)

(2/3).(x^2) = (x^2 - 1)^(3/3)

(2/3).(x^2) = x^2 -1

(2/3).(x^2) - x^2 = -1

(x^2).(2/3 -1) = -1

(x^2).((2 - 3)/3) = -1

(x^2).(-1/3) = -1 (vezes -1)

(x^2)/3 = 1

x^2= 3

x= raiz(3)

Logo, f(raiz(3)) é dado por:

f(raiz(3))= (3/4).((raiz(3))^2 -1)^(2/3)

f(raiz(3))= (3/4).(3 -1)^(2/3)

f(raiz(3))= (3/4).2^(2/3)

f(raiz(3))= (3/4).(2^2)^(1/3)

f(raiz(3))= (3/4).raizcub(4)

Assim, (raiz(3), (3/4).raizcub(4)) é um "possível" ponto de inflexão da função. Devemos confirmar se tal ponto é de fato um ponto verdadeiro de inflexao calculando a derivada terceira da função. Se a derivada terceira da função for diferente de 0, então o ponto determinado é um ponto verdadeiro de Inflexao.

Logo:

f''(x) = (x^2 - 1)^(-1/3) - (2/3).(x^2).(x^2 - 1)^(-4/3)

f'''(x) = (-1/3).{(x^2 - 1)^(-1/3 -1)}.(2x - 0) - (2/3).{2x.(x^2 - 1)^(-4/3) + (x^2).{(-4/3).(x^2 - 1)^(-4/3 -1)}.(2x - 0)}

f'''(x) = (-1/3).{(x^2 - 1)^((-1 - 3)/3)}.2x - (2/3).{2x.(x^2 - 1)^(-4/3) + (x^2).{(-4/3).(x^2 - 1)^((-4 -3)/3)}.2x}

f'''(x) = (-2x/3).(x^2 - 1)^(-4/3) - (2/3).{2x.(x^2 - 1)^(-4/3) + 2x.(x^2).(-4/3).(x^2 - 1)^(-7/3)}

f'''(x) = (-2x/3).(x^2 - 1)^(-4/3) - (4x/3).(x^2 - 1)^(-4/3) - (4x/3).(x^2).(-4/3).(x^2 - 1)^(-7/3)

f'''(x) = (-2x/3).(x^2 - 1)^(-4/3) - (4x/3).(x^2 - 1)^(-4/3) + (16/9).(x^3).(x^2 - 1)^(-7/3)

f'''(x) = (-2x).(x^2 - 1)^(-4/3) + (16/9).(x^3).(x^2 - 1)^(-7/3)

Como pode ser visto, f'''(x)<>0, logo isso confirma que o ponto de Inflexao determinado é verdadeiro.

É ideal, em caso de dúvida, traçar o gráfico da função para verificar os resultados, em caso de dúvida.

Blz?

Abs :)