Olá pessoal vocês poderiam me ajudar nessa questão, por favor
A relação entre o lucro, em milhares de reais, de determinada companhia de televisão a cabo e o número x de assinantes é descrita por uma função quadrática L, tal que L(x) = - x2 + bx + c. Sabendo que a companhia será rentável quando tiver entre 12 mil e 84 mil assinantes, identifique a alternativa em que consta o lucro máximo que ela pode atingir e o correspondente número de assinantes que ela deve ter para que isso ocorra.
Soluções para a tarefa
Alternativa A.
Lucro máximo: 1296
Numero de assinantes: 48
Como a companhia será rentável quando tiver entre 12 mil e 84 mil assinantes, significa que esses são os valores das raízes dessa função, pois são os pontos do gráfico em que a parábola inicia e termina acima do eixo x.
para x = 12
L(x) = - x²+ bx + c
L(12) = - 12² + b.12 + c
0 = - 144 + 12b + c
12b + c = 144
para x = 84
L(x) = - x²+ bx + c
L(84) = - 84² + b.84 + c
0 = - 7056 + 84b + c
84b + c = 7056
Fazendo um sistema de equações, temos:
{84b + c = 7056
{12b + c = 144 ----> ·(-1)
{84b + c = 7056
{-12b - c = - 144 +
72b = 6912
b = 6912
72
b = 96
O valor de c.
12b + c = 144
12.96 + c = 144
1152 + c = 144
c = 144 - 1152
c = - 1008
Portanto, a função é:
L(x) = - x² + 96x - 1008
[a = - 1 / b = 96 / c = - 1008]
O lucro máximo é obtido quando o valor de x é o Xv.
Xv = - b
2a
Xv = - 96
2.(-1)
Xv = 48
Agora, calculamos o valor do lucro máximo.
L(48) = - 48² + 96.48 - 1008
L(48) = - 2304 + 4608 - 1008
L(48) = 2304 - 1008
L(48) = 1296