Question

Olá Pessoal! Resolvi todas as questões do curso de Polinômios e faltou uma só. Poderiam me ajudar.Valendo 15 pontos.Questão discursiva. (UFOP-MG) Seja P(x) um polinômio tal que P(2) = -1. Suponhamos que o quociente Q(x) da divisão de P(x) por x-2 seja tal que Q(3) = 3. Determine o resto R(x) da divisão de P(x) por (x-2)(x-3).
Muito Obrigado! :)

Answer 1

A sacada aqui é lembrar de algo que a maioria de nós não dá muita atenção.

"Em uma divisão de polinômios, o grau do resto é sempre menor que o grau do divisor."

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$\bullet\;\;P(x)$ é um polinômio tal que $P(2)=-1.$

Sejam $Q(x)$ e $S(x)$ respectivamente o quociente e o resto da divisão de $P(x)$ por $(x-2).$ Então, devemos ter

$P(x)=(x-2)\cdot Q(x)+S(x)~~~~~~\mathbf{(i)}$


$\bullet\;\;$ Na equação $\mathbf{(i)},$ para $x=2,$

$P(2)=(2-2)\cdot Q(2)+S(2)\\\\ P(2)=0+S(2)\\\\ S(2)=-1~~~~~~\mathbf{(ii)}$


Mas $S(x)$ é o resto da divisão de $P(x)$ por $(x-2).$ Logo, o grau de $S(x)$ deve ser no máximo zero, isto é, $S(x)$ é um polinômio constante:

$S(x)=-1~~~~~~\mathbf{(iii)}$


$\bullet\;\;$ Na equação $\mathbf{(i)},$ para $x=3$

$P(3)=(3-2)\cdot Q(3)+S(3)\\\\ P(3)=1\cdot Q(3)+S(3)\\\\ P(3)=3+(-1)\\\\ P(3)=2~~~~~~\mathbf{(iv)}$

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De acordo com o enunciado da questão, $R(x)$ é o resto da divisão de $P(x)$ por $(x-2)(x-3).$

Então, o grau de $R(x)$ é no máximo 1:

$R(x)=ax+b~~~~~~\mathbf{(v)}$


E devemos ter

$P(x)=(x-2)(x-3)\cdot T(x)+R(x)\\\\ P(x)=(x-2)(x-3)\cdot T(x)+ax+b~~~~~~\mathbf{(vi)}$


$\bullet\;\;$ Na equação $\mathbf{(vi)},$ para $x=2,$

$P(2)=(2-2)(2-3)\cdot T(2)+a\cdot 2+b\\\\ P(2)=0+2a+b\\\\ 2a+b=-1~~~~~~\mathbf{(vii)}$


$\bullet\;\;$ Na equação $\mathbf{(vi)},$ para $x=3,$

$P(3)=(3-2)(3-3)\cdot T(3)+a\cdot 3+b\\\\ P(3)=0+3a+b\\\\ 3a+b=2~~~~~~\mathbf{(viii)}$


Resta-nos agora resolver o sistema formado pelas equações $\mathbf{(vii)}$ e $\mathbf{(viii)}:$

$\left\{\!\begin{array}{lc} 2a+b=-1&~~~~\mathbf{(vii)}\\\\ 3a+b=2&~~~~\mathbf{(viii)} \end{array}\right.$


Subtraindo $\mathbf{(viii)}-\mathbf{(vii)},$ temos

$3a-2a=2-(-1)\\\\ a=2+1\\\\ a=3$


Encontrando $b,$ substituindo o valor de $a$ na equação $\mathbf{(vii)}:$

$2\cdot 3+b=-1\\\\ 6+b=-1\\\\ b=-1-6\\\\ b=-7$


Portanto, o resto procurado é o polinômio

$\boxed{\begin{array}{c}R(x)=3x-7 \end{array}}$


Bons estudos! :-)