Question

Olá pessoal. Preciso do passo a passo para a resolução da questão abaixo:

Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de certo produto é dado pela fórmula C = X² - 80x + 3.000 . Nessas condições, calcule:

a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo.

b) o valor mínimo do custo.

- Alguém pode me ajudar?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Anacecília, que a resolução é simples.
Tem-se que o custo C(x), para produzir "x' unidades de certo produto é dado pela seguinte função:

C(x) = x² - 80x + 3.000.

Nessas condições são pedidas as seguintes informações:

a) A quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo.
Veja: como já vimos em outras questões suas sobre este mesmo assunto, então, para encontrar a quantidade "x" mínima de unidades produzidas, basta utilizar a fórmula do "x" do vértice (xv) da parábola da função custo dada por: [C(x) = x² - 80x + 3.000].
Lembre-se que o "x" do vértice (xv) é dado por:

xv = - b/2a ----- substituindo-se "b" por "-80" e "a" por "1", teremos:
xv = - (-80)/2*1
xv = 80/2
xv = 40 unidades <---- Esta é a resposta para o item "a".

b) Qual o valor desse custo mínimo?
Veja que tanto você poderá encontrar o valor do custo mínimo utilizando a fórmula do "y" do vértice (yv), como poderá também tomar o valor da quantidade mínima (40 unidades) que minimiza os custos, e substituir este valor no lugar do "x" da função dada e que é esta:

C(x) = x² - 80x + 3.000 ----- substituindo-se "x' por "40", teremos:
C(40) = 40² - 80*40 + 3.000
C(40) = 1.600 - 3.200 + 3.000 --- veja que esta soma algébrica dá "1.400". Logo:

C(40) = 1.400,00 <---- Esta é a resposta para o item "b".  Ou seja, este é o valor do custo mínimo.

Note que se você quiser, também poderia aplicar a fórmula do "y" do vértice (yv), cuja fórmula é esta:

yv = - (b²-4ac)/4a ---- substituindo-se "b" por "-80", "a' por "1" e "c" por 3.000, teremos;

yv = - ((-80)² - 4*1*3.0000)/4*1
yv = - (6.400 - 12.000)/4
yv = - (-5.600)/4 ---- retirando-se os parênteses, teremos;
yv = 5.600/4 ---- note que esta divisão dá exatamente "1.400". Logo:
yv = 1.400,00 <--- Veja que o resultado é o mesmo.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.