Question

Olá pessoal, eu estava estudando e me deparei com esta questão, não entendi a lógica.

(UFSCar-SP) Um jogo para duas pessoas consiste em uma urna com duas (2) bolas vermelhas e uma (1) azul. Ganha o jogo quem retirar da urna a bola azul. Caso o jogador retire a bola vermelha, essa volta para a urna, e o outro jogador faz sua retirada. Os jogadores vão alternando suas retiradas até que saia a bola azul. Todas as bolas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.
A probabilidade de o primeiro a jogar ganhar o jogo, isto é, de uma das suas retiradas pegar a bola azul, vale:

a) 1/3
b) 2/5
c) 1/2
d) 3/5 (está seria a correta)
e) 2/3

Obg desde já. ​

Answer 1

Primeiramente perceba que o primeiro jogador só ganhará em jogadas ímpares (primeira, terceira, quinta...).Vamos calcular a probabilidade dele ganhar na primeira,terceira e quinta jogada.

I. Primeira Jogada:

Basta que ele retire a bola azul, que tem 1/3 probabilidade de ser retirada (pois as bolas têm a mesma probabilidade de serem retiradas).

II.Terceira jogada:

Aqui, devemos ter a seguinte disposição de bolas a serem retiradas:

VVA

V= bola vermelha

A=bola azul

Note que como existem duas bolas vermelhas na urna,cada uma com chance de 1/3 de ser retirada, então a probabilidade de se retirar uma bola vermelha é 2/3.Desta maneira,pelo princípio multiplicativo a chance de se ganhar na quinta rodada é dada por:

(2/3)*(2/3)*(1/3) = (2^2)/(3^3)

III.Quinta rodada:

A configuração aqui é VVVVA.Daí,temos :

(2/3)^4*(1/3) = (2^4)/(3^5)

Caso desejarmos saber a probabilidade do primeiro jogador ganhar nas primeiras cinco rodadas, somaríamos os resultados acima obtidos pelo princípio aditivo.Porém, não é citado na questão um limite de rodadas, o que nos leva a procurar alguma relação entre as probabilidades encontradas (por exemplo, seria bem conveniente se elas formassem uma progressão aritmética ou geométrica,cujas somas são conhecidas).

Pois bem,note que:

((2^2)/(3^3)) / (1/3) = (2^2)/(3^2) = 4/9

((2^4)/(3^5))/((2^2)/(3^3)) = (2^2)/(3^2)=4/9

Isto é,a razão entre a probabilidade de se ganhar na terceira jogada e na primeira jogada é a mesma que a razão entre ganhar na quinta e na terceira. Logo,tais probabilidades formam uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 1/3 e a razão 4/9.Portanto,sua soma equivale a:

(1/3)/(1-(4/9)) = (1/3)/(5/9) = (1/3)*(9/5)=3/5

O resultado encontrado foi 3/5, conforme o gabarito.

^ = elevado a (símbolo de potenciação)

* = vezes (símbolo de multiplicação)