Question

Olá, gostaria de sanar uma dúvida referente tanto a uma função raiz, quanto ao teorema de Bhaskara
Na definição de raiz, nos temos que uma raiz n de um número elevado a n, resultado no módulo desse número (exemplo: √x² = |x| )
E no teorema de Bhaskara temos que (-b ± √Δ)/2*a
Minha dúvida é o seguinte, se a raiz quadrada de um número elevado ao quadrado retorna o módulo desse número (e logo, teoricamente um número positivo), por que no teorema de Bhaskara, é necessário o uso do "±" ?
Desde já, obrigado a quem responder

Answer 1

A fórmula de Bhaskara é a solução da  equação ax² + bx + c = 0.

Para entender porque surge o "±" na fórmula de Bhaskara é melhor explicar como obtê-la.

Desconhecendo a fórmula de Bhaskara, uma das formas de solucionar essa equação é de forma literal usando o método de completar o quadrado perfeito. Para isso o primeiro membro é transformado em um trinômio quadrado perfeito e depois é fatorado. Para resolver por esse método, a equação deve estar na forma x² + bx = c. Para isso proceda da seguinte forma:

• Divida ambos os membros da equação ax² + bx + c = 0 por a:

$\large \sf x^2 + \dfrac{b}{a} x + \dfrac {c}{a} = 0$  ⟹ Subtraia $\large \sf \dfrac{c}{a}$ de ambos os membros.

$\large \sf x^2 + \dfrac{b}{a} x = -\dfrac {c}{a}$

• Separe o termo $\large \sf \dfrac{b}{a} x$ em duas partes iguais.

$\large \sf x^2 + \dfrac{b}{2a} x + \dfrac{b}{2a} x = -\dfrac {c}{a}$

• Represente o primeiro membro da equação geometricamente conforme mostrado na figura anexa.
• Observe na figura que, para completar o quadrado deve-se adicionar uma área equivalente a $\large \sf \left( \dfrac{b}{2a} \right) ^2$.

• Complete o quadrado somando $\large \sf \left( \dfrac{b}{2a} \right) ^2$ em ambos os membros.

$\large \sf x^2 + \dfrac{b}{a} x + \left( \dfrac{b}{2a} \right) ^2 = \left( \dfrac{b}{2a} \right) ^2 -\dfrac {c}{a}$

• Fatore o primeiro membro e desenvolva o segundo.

$\large \sf \left( x + \dfrac{b}{2a} \right) ^2 = \dfrac{b^2}{4a^2} -\dfrac {c}{a}$   ⟹ m.m.c. (4a², a) = 4a²

$\large \sf \left( x + \dfrac{b}{2a} \right) ^2 = \dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$

• Extraia a raiz quadrada de ambos os membros. Nesse ponto deve-se estar atento que a raiz quadrada de um número qualquer, por exemplo 16, é 4, não é ±4, mas se z² = 16 então z pode ser −4 ou +4, e isso responde a sua pergunta.
• Já que chegamos até aqui vou desenvolver até  fim.

$\large \text { \sf x + \dfrac{b}{2a} = \pm \sqrt {\dfrac{b^2-4ac}{4a^2} } }$

• Efetue a radiciação do denominador do segundo membro.

$\large \text { \sf x + \dfrac{b}{2a} = \pm \dfrac {\sqrt {b^2- 4ac}} {2a} }$

• Subtraia  $\large \sf \dfrac{b}{2a}$ de ambos os membros.

$\large \text { \sf x = -\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac {\sqrt {b^2- 4ac}} {2a} }$

• Sendo os denominadores comum:

$\large \text { \sf x = \dfrac {-b \pm \sqrt {b^2- 4ac}} {2a} }$

• Determine x₁ e x₂.

$\large \text { \sf x_1 = \dfrac {-b + \sqrt {b^2- 4ac}} {2a} }$

$\large \text { \sf x_2 = \dfrac {-b - \sqrt {b^2- 4ac}} {2a} }$

• Escreva o conjunto solução.

$\large \text { \sf S = \left \{ \dfrac {-b - \sqrt {b^2- 4ac}} {2a}, \dfrac {-b + \sqrt {b^2- 4ac}} {2a} \right \} }$

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