Question

Olá galera, primeira vez no fórum, ainda bem que é uma dúvida simples. rsrs'
Tenho um exercício para amanhã, então preciso saber como proceder para resolver o problema.
Resumindo: Para obter os valores de x é definida a função $f(x) = log_{10} [log_{ \frac{1}{3}}( x^{2} -x+1)]?$

Answer 1

O exercício pede o domínio da função, que é o conjunto de valores que x pode assumir

Já que se trata de uma função logarítmica, as condições de existência dos logaritmos devem ser respeitadas:

$log_{b}(a)=c\rightleftharpoons b^{c}=a$

a ---> Logaritmando. a > 0
b ---> Base. b > 0 e b ≠ 1
_______________________

$f(x)=log_{10}[log_{\frac{1}{3}}(x^{2}-x+1)]$

A base é 10 e o logaritmando é log(1/3) (x² - x + 1)

Esse logaritmando deve ser maior que zero, pra respeitar as condições de existência

$logaritmando>0\\log_{\frac{1}{3}}(x^{2}-x+1)>0$

O problema é resolver essa inequação, muitos erram no sinal de desigualdade

$log_{\frac{1}{3}}(x^{2}-x+1)>0\\log_{(3^{-1})}(x^{2}-x+1)>0$

Propriedade: $\boxed{log_{(b^{x})}(a)=\frac{1}{x}*log_{b}(a)}$

$(1/[-1])*log_{3}(x^{2}-x+1)>0\\(-1)*log_{3}(x^{2}-x+1)>0$

Multiplicando os 2 lados por -1 e mudando o sinal de desigualdade:

$(-1)(-1)*log_{3}(x^{2}-x+1)<(-1)*0\\log_{3}(x^{2}-x+1)<0$

Agora podemos aplicar a definição de logaritmos:

$x^{2}-x+1<3^{0}\\x^{2}-x+1<1\\x^{2}-x<0$

Resolvendo a inequação:

Calculando as raízes da equação:

$x^{2}-x=0\\x*(x-1)=0\\\\x=0\\\\x-1=0~\therefore~x=1$

Fazendo o estudo de sinais (imagem anexa)

A inequação pede valores menores que zero, logo os valores de x que farão parte do domínio estão entre as raízes 0 e 1, não as incluindo, pois são raízes e anulariam a função.

Resposta em intervalos:
$D=]0,1[$

Resposta em notação de conjuntos:
$D=\{x\in\mathbb{R}/0<x<1\}$