Question

Olá, estou estudando para o Cotuca 2016, mas encontrei uma dificuldade, portanto gostaria da EXPLICAÇÃO dela. Obrigado desde já :)16.A fração algébrica $\frac{16x+18}{ x^{2} +X-6}$ pode ser expressa por meio da soma das frações algébricas $\frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+3}$, com A e B inteiros, para todos os valores x ∈ R - {2;-3} .O valor da multiplicação entre A e B é:a) 10b) 18c) 16d) 60e) -420

Answer 1

Oi Juliana

(16x + 18)/(x² + x - 6) = (16x + 18)/((x - 2)*(x + 3)

(16x + 18)/((x - 2)*(x + 3) = A/(x - 2) + B/(x - 3)

16x + 18 = A*(x + 3) + B*(x - 2) 

A + B = 16
3A - 2B = 18
2A + 2B = 32
5A = 50
A = 10
B = 6 

(16x + 18)/(x² + x - 6) = 10/(x - 2) + 6/(x + 3) 

A*B = 10*6 = 60 (E) 

.

Answer 2

$\\ \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+3}=\frac{(x+3)\cdot A}{(x-2)\cdot(x+3)} + \frac{(x-2)\cdot B}{(x-2)\cdot(x+3)} = \frac{Ax+3A+Bx-2B}{x^2+3x-2x-6} \\ \\= \frac{Ax+Bx+3A-2B}{x^2+x-6} = \frac{(A+B)x+3A-2B}{x^2+x-6} \\ \\ \\como \ a fra\c{c}\~a\ alg\'ebrica \ \'e \ \frac{16x+18}{x^2+x-6} \ , temos:\\ A+B=16 \ e \ 3A-2B=18\\ \\A+B=16 \Rightarrow\ A = 16-B\\ \\3A-2B=18 \\3\cdot(16-B)-2B=18 \\48-3B-2B=18 \\-3B-2B=18-48 \\-5B=-30 \\B=\frac{-30}{-5}\\ \\B=6 \\Subst. \ em \ A = 16 - B:\ A=16-6\ A=10$
Logo: A × B = 10 × 6 = 60