Question

Olá!
Determine às equações das retas tangentes as curvas: a) y=2x-x³,(-2,4) e b) y=-8 rais quadrada de x,(4,4)

Answer 1

A equação da reta tangente ao gráfico de $f(x),$ no ponto onde

$x=a,\;\;y=f(a)$

é dada por

$\boxed{\begin{array}{c} y-f(a)=f'(a)\,(x-a) \end{array}}$


onde $f'(a)$ é o valor da derivada de $f(x),$ fazendo $x=a.$



a) $y=2x-x^{3},$ no ponto $(-2,\,4):$

Neste ponto, temos $x=-2\;\text{ e }\;y=f(-2)=4.$


$f(x)=2x-x^{3}$


Derivando a expressão acima, temos

$f'(x)=(2x-x^{3})'\\ \\ f'(x)=2-3x^{2}$


Para $x=-2,$ temos

$f'(-2)=2-3\cdot (-2)^{2}\\ \\ f'(-2)=2-3\cdot 4\\ \\ f'(-2)=2-12\\ \\ f'(-2)=-10$


Logo, a equação da reta tangente é

$y-f(-2)=f'(-2)\,(x-(-2))\\ \\ y-4=-10\,(x+2)\\ \\ y-4=-10x-20\\ \\ y=-10x-20+4\\ \\ y=-10x-16$


b) $y=-\dfrac{8}{\sqrt{x}},$ no ponto $(4,\,-4):$

Neste ponto, temos $x=4\;\text{ e }\;y=f(4)=-4.$


$f(x)=-\dfrac{8}{\sqrt{x}}\\ \\ f(x)=-\dfrac{8}{x^{1/2}}\\ \\ f(x)=-8x^{-1/2}$


Derivando a expressão acima, temos

$f'(x)=(-8x^{-1/2})'\\ \\ f'(x)=-8\cdot \left(-\dfrac{1}{2} \right )\cdot x^{(-1/2)-1}\\ \\ f'(x)=4\cdot x^{-3/2}\\ \\ f'(x)=\dfrac{4}{x^{3/2}}\\ \\ f'(x)=\dfrac{4}{\sqrt{x^{3}}}$


Para $x=4,$ temos

$f'(4)=\dfrac{4}{\sqrt{4^{3}}}\\ \\ f'(4)=\dfrac{4}{\sqrt{64}}\\ \\ f'(4)=\dfrac{4}{8}\\ \\ f'(4)=\dfrac{1}{2}$


Logo, a equação da reta tangente é

$y-f(4)=f'(4)\,(x-4)\\ \\ y-(-4)=\dfrac{1}{2}\,(x-4)\\ \\ y+4=\dfrac{1}{2}\,x-\dfrac{4}{2}\\ \\ y+4=\dfrac{1}{2}\,x-2\\ \\ y=\dfrac{1}{2}\,x-2-4\\ \\ y=\dfrac{1}{2}\,x-6$