Question

Olá caros colegas,

Preciso calcular a integral indefinida abaixo:

$\int x^{3} ln x dx$

Tentei primeiro integrar direto e não consegui, depois tentei usar o método de substituição e também não chegou ao resultado certo, que é:

$\frac{1}{4} x^{4} ln -\frac{x^{4}}{16} + C$

Qual seria o método mais adequado, e como seria a resolução com ele?

Obrigado!

Answer 1

Olá! Uma boa pergunta a sua, demonstra que você quer entender o assunto. Bem, o método mais adequado seria resolver pela técnica de integração por partes. Conhece? Se não conhece é simplesmente um modo de calcular integrais que envolve a multiplicação de duas funções. Ora, x³ e ln x quando multiplicados resultará em uma nova função, que é x³ . ln x. Assim, apresento a integral genérica para esse tipo de integral

$\bf \displaystyle\int udv=u.v-\displaystyle\int vdu$

Faremos as seguintes considerações

$\bf u=lnx~~~~~~~~~~~~du=\dfrac{1}{x}dx \\ \\ dv=x^3dx~~~~~~~~~~~~v=\dfrac{x^4}{4}$

Substituindo na integral genérica, temos

$\bf \displaystyle\int x^3lnx~dx=lnx~.~\big(\dfrac{x^4}{4}\big) -\displaystyle\int \frac{x^4}{4} ~.~\frac{1}{x}dx\\ \\ \\ \displaystyle\int x^3lnx~dx=lnx~.~\big(\dfrac{x^4}{4}\big) -\dfrac{1}{4}\displaystyle\int x^3dx\\ \\ \\ \displaystyle\int x^3lnx~dx=lnx~.~\big(\dfrac{x^4}{4}\big)-\dfrac{1}{4}~.~\frac{x^4}{4} +C\\ \\ \\ \boxed{\bf \displaystyle\int x^3lnx~dx=\dfrac{1}{4}x^4lnx-\frac{x^4}{16} +C}}~\checkmark$

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\mathsf{\displaystyle\int x^3 \cdot ln(x)\, dx = ln(x) \cdot \dfrac{x^4}{4} -\dfrac{x^4}{16} + C, C \in \mathbb{R}}}}$

Explicação passo-a-passo:

É nós dada a seguinte integral indefinida abaixo.

$\mathsf{\displaystyle\int x^3 \cdot ln(x)\, dx}$

Para sua resolução, iremos utilizar o método da integração por partes, na qual sua fórmula é dada pela seguinte expressão abaixo.

$\mathsf{\displaystyle\int u\,\mathrm dv= uv-\int v\,\mathrm du}$

Então, tomamos as seguintes considerações para a resolvermos abaixo.

$\mathsf{Se\,\,u = ln(x), ent\~ao\,\, du = \dfrac{1}{x}\,dx}\\\\\mathsf{Se\,\,dv = x^3\,dx, ent\~ao\,\, v = \dfrac{x^4}{4}}$

Com os valores em mãos, podemos substitui-los na integral original. Assim, temos:

$\mathsf{\displaystyle\int x^3 \cdot ln(x)\, dx = ln(x) \cdot \dfrac{x^4}{4} -\int \dfrac{\not x^4}{4} \cdot \dfrac{1}{\not x}\,\mathrm dx}\\\\\mathsf{\displaystyle\int x^3 \cdot ln(x)\, dx = \dfrac{ln(x) \cdot x^4}{4} -\dfrac{1}{4}\int x^3\, dx}\\\\\mathsf{\displaystyle\int x^3 \cdot ln(x)\, dx = \dfrac{ln(x) \cdot x^4}{4} -\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{x^4}{4}}\\\\\boxed{\mathsf{\displaystyle\int x^3 \cdot ln(x)\, dx = \dfrac{ln(x) \cdot x^4}{4} -\dfrac{x^4}{16}}}}$

Como é uma integral indefinida, somamos a constante de integração ao final. Ou seja:

$\boxed{\mathsf{\displaystyle\int x^3 \cdot ln(x)\, dx = \dfrac{ln(x) \cdot x^4}{4} -\dfrac{x^4}{16} + C, C \in \mathbb{R}\,\rightarrow Resposta!}}$

Dúvidas? Comente.