Question

Olá bom dia/tarde/noite bem, minha dúvida é a seguinte-recentemente vi um vídeo na internet em que um professor ensinava a resolver um problema de matemática: Sendo x um número positivo tal que x² + 1/x² = 14, o valor de x³ + 1/x³ é? Bem minha dúvida não é o problema em si, ele eu já sei resolver, só que em uma parte da resolução do calculo e o professor chega nessa parte ao elevar (x + 1/x)³ = (4)³. Bem aki esta minha duvida>>> 1x³ + 3x².1/x + 3x.1/x² + 1.1/x³, nessa parte ele começa a resolver e diz que é matemática básica, então ele abaixa o x³ + e fala "matemática básica aki ó: x² que multiplica 1/x, então x² ÷ por x fica apenas o x" ficando x³ + 3x +... e assim vai, e ele faz a mesma coisa com o 3x.1/x² + 1.1/x³, até resolver essa parte. Bem acredito que essa seja de fato a forma mais facil de resolver, só que me pareceu que ele simplifico/fez de cabeça, sei la, "por ter multiplicação aki e aki podemos simplificar" Ex: 2.x.1/x por causa da multiplicação corta os x e sobra so o 2, sei la, sei como faz no mais ou menos mas queria saber como faz a conta toda passo por passo caso algum dia eu precisse, e se puderem me passar contas e calculos parecidos para que eu possa treinar. Agradeço desde já e desculpa por ter ficado tão longo.(primeira vez)

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Vamos por parte:

Sobre isso 1x³ + 3x².1/x + 3x.1/x² + 1.1/x³.

Ele está usando o fato de que (x+y)³=(x+y)(x+y)(x+y)

=[(x+y)(x+y)](x+y)=[x²+xy+yx+y²](x+y) (Apenas distribuindo os fatores no colchete)

=x³+x²y+x²y+y²x+x²y+xy²+y²x+y³(Apenas distribuindo)

=x³+y³+x²y+x²y+x²y+xy²+xy²+xy² (Organizando)

=x³+y³+3x²y+3xy²

=x³+3x²y+3xy²+y³

Ele está usando o triângulo de Pascal, como você deve conhecer, isto é,

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

.....

No caso quando estamos em uma situação como (x+y)³, podemos utilizar o triângulo de pascal para não ter que fazer a conta toda (por isso que ele deve chamar de matemática básica), que é assim:

Olhando para a linha a qual a potência aparece na segunda posição, no nosso caso, é a linha 1 3 3 1.

Basta fazer assim, o primeiro termo vai com o maior grau do primeiro fator, isto é, x é o primeiro fator e y segundo fator.

Logo, 1x³.

Só que vamos diminuindo o grau desse fator e aumentando o grau do segundo fator. Lógico com o outro termo da linha:

3x²y

E assim por diante.

Note que no primeiro caso, era como se tivéssemos:

1x³y⁰

Ao todo fica assim: 1x³y⁰+3x²y¹+3x¹y²+1y³, isto é, x³+3x²y+3xy²+y³.

Agora vamos para o caso da sua questão:

1x³ + 3x².1/x + 3x.1/x² + 1.1/x³

=x³+3x²•(1/x)+3x•(1/x)²+(1/x)³

=x³+(3x²)/x+(3x)/x²+1/(x³)

=x³+3x+3/x+1/x³

Agora, só mais um exemplo, pra você entender sobre o triângulo de pascal:

(x+y)⁴

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

....

A linha dessa vez é 1 4 6 4 1, logo:

(x+y)⁴=1x⁴+4x³y+6x²y²+4xy³+1y⁴