Question

Olá, bom dia! Preciso de ajuda quanto a resolução da questão 2 da atividade anexo. Obrigada!

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Anacecília, a questão "2" é esta:
Utilizando a definição de derivada, dê a derivada da função f(x) = x² + 2x.
Veja que a definição de derivada é dada por:

lim [f(x+Δx) - f(x)]/Δx
Δx-->0

Bem, primeiro vamos na função dada, que é esta: f(x) = x² + 2x.
Para encontrarmos qual é o valor de f(x+Δx), basta substituirmos o "x" da função dada por "x+Δx". Assim, fazendo isso, teremos:
f(x+Δx) = (x+Δx)² + 2*(x+Δx) ---- desenvolvendo, temos:
f(x+Δx) = x²+2xΔx+(Δx)² + 2x+2Δx <--- Esta é a representação de f(x+Δx).

Então vamos na definição e substituiremos f(x+Δx) pelo que acabamos de encontrar aí em cima. Assim:

lim [f(x+Δx) - f(x)]/Δx ---- fazendo a devida substituição, teremos:
Δx-->0

lim [x²+2xΔx+(Δx)² + 2x+2Δx - f(x)]/Δx
Δx-->0

Mas f(x) = x² + 2x. Então substituindo, teremos;

lim [x²+2xΔx+(Δx)² + 2x+2Δx - (x²+2x)]/Δx --- retirando-se os parênteses, temos:
Δx-->0

lim [x²+2xΔx+(Δx)² + 2x+2Δx - x² - 2x)]/Δx --- reduzindo termos semelhantes:
Δx-->0

lim [2xΔx + (Δx)² + 2Δx]/Δx --- colocando Δx em evidência, ficamos
Δx-->0

lim Δx*[2x + Δx + 2]/Δx
Δx-->0

Dividindo-se Δx do numerador com Δx do denominador, iremos ficar apenas com:

lim [2x + Δx + 2]
Δx-->0

Mas veja que, como Δx está tendendo a zero, então substituiremos Δx por zero, com o que ficaremos apenas com:

lim [2x + 0 + 2] = 2x + 2 <--- Esta é a resposta. É a derivada.
Δx-->0

Observação: e note que se você for derivar f(x) = x² + 2x ficará: f'(x) = 2x+2 <--- Veja: exatamente como encontramos conforme a definição acima.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.