Question

Olá, boa tarde !

Gostaria de saber o conceito de logaritmo :definição ,fórmulas, e alguns exemplos .
Obrigado ! ^^

Answer 1

Primeiramente, vamos partir da operação de exponenciação.

Considere  a  um número real positivo e diferente de 1:

a > 0   e   a ≠ 1

Seja  y  o resultado  de  a  elevado à  n-ésima potência:

y = a^n

Obviamente, como a base  a  é positiva, o resultado  y  dessa exponenciação sempre será um número também positivo  (y > 0).

O expoente  n  é chamado logaritmo do número  y  na base  a, sendo  y  o resultado daquela exponenciação. Denotamos assim

logₐ y = n

Em outras palavras, o logaritmo nada mais é do que o expoente  n  ao qual devemos elevar certa base  a, para obter  y  como resultado. Esta é a definição de logaritmo:

n = logₐ y    ⇔    a^n = y         (onde  0 < a < 1  ou  a > 1,  e  y > 0)

Na definição acima,

•  n  é o logaritmo propriamente dito  (podendo assumir qualquer valor real);

•  a  é a base do logaritmo  (sempre é um número positivo e diferente de 1);

•  y é o logaritmando  (sempre é um número positivo).

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•  Exemplo 1:   Qual é o logaritmo de 8 na base 2?

Queremos calcular  log₂ 8.  Uma forma equivalente de fazer essa pergunta é:   A qual expoente deve-se elevar a base 2, de forma a obter 8 como resultado?

Chamemos esse número de  x.  Estamos procurando um  x  tal que

2ˣ = 8

Mas sabemos que  8 = 2³. Logo, a equação a ser resolvida é

2ˣ = 2³

Exponenciais de mesma base só são iguais se os expoentes forem iguais. Logo, devemos ter

x = 3

Este é justamente o valor do logaritmo que estamos procurando:

log₂ 8 = 3      (pois 2³ = 8)

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•  Exemplo 2:   Resolva a equação exponencial:

3ˣ = 10

Estamos à procura de um expoente desconhecido, de modo que  3  elevado a este expoente resulte  10.

Sabemos que

3² = 9    (que está relativamente próximo de 10, mas é menor)

3³ = 27    (este valor já é bem maior que 10)

Assim, podemos afirmar que o expoente procurado está entre 2 e 3, pois

9 < 10 < 27

3² < 3ˣ < 3³

e como a base é 3, que é maior que 1, o sentido da desigualdade é mantido para os expoentes:

2 < x < 3

Mas  x  é o expoente desconhecido, dessa forma,  x  é o logaritmo de 10 na base 3:

x = log₃ 10   <———    esta é a solução para a equação dada.

sendo   2 < log₃ 10 < 3,  isto é,  log₃ 10  é um número que está entre 2 e 3.

Usando uma calculadora científica ou uma tabela de logaritmos, podemos obter um valor aproximado com uma precisão maior de casas decimais:

x = log₃ 10 ≈ 2,09590327      (valor aproximado)

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Você deve ter percebido que o cálculo de logaritmos é a operação inversa da exponenciação. Sempre que estamos à procura de um expoente desconhecido a ideia do logaritmo estará envolvida.

Nos exemplos dados acima foram usando apenas números naturais, mas a ideia pode ser estendida para o conjunto dos reais também, desde que os termos envolvidos satisfaçam as condições descritas na definição.

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•  Algumas propriedades operatórias úteis que valem para o cálculo de logaritmos.

Considere  p, q  números reais positivos, e  a  real positivo e diferente de 1. Sendo assim, valem as seguintes propriedades:

•  O logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos:

   logₐ (p · q) = logₐ p + logₐ q

•  O logaritmo do quociente é igual à diferença entre logaritmos:

              p
   logₐ  ——  =  logₐ p – logₐ q
              q

•  O logaritmo da potência é igual ao expoente multiplicado pelo logaritmo da base da potência:

   logₐ (p^k) = k · logₐ p            (k ∈ R)

•  Caso precisemos trabalhar com bases diferentes, temos ainda a lei de mudança de base:

   $\mathsf{log_a\,p=\dfrac{log_b\,p}{log_b\,a}}$

onde foi feita a mudança para a base  b  com a qual deseja-se trabalhar  (b > 0  e  b ≠ 1).


Alguma dúvida? Deixe nos comentários.


Bons estudos! :-)


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