Question

Olá, boa tarde! Alguém pode me ajudar na resolução dos exercícios abaixo?

Nos exercícios 3 e 4 encontrar a derivada das funções dadas:


3) H(x) = (4x² -1) ( 7x³ + x)
4) F(x) = ( 4x² - 7) (7 – 2x)


Obrigada ^^

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Anacecília, que a resolução continua simples.
Pede-se para derivar as seguintes funções:

3) h(x) = (4x²-1)*(7x³+x)
e
4) f(x) = (4x²-7)*(7-2x)

Vamos aplicar a regra de cadeia na multiplicação:
Se temos que y = u*v, então teremos: y' = u'*v + u*v'.
É claro que você poderá evitar a regra de cadeia se o produto entre os fatores envolvidos for bem fácil de desenvolver. Aí, então seria só desenvolver a derivada de uma função normal (sem mais nenhum produto). Mas se a aplicação da regra de cadeia for mais fácil, então seria só aplicá-la.
Faremos o seguinte: aplicaremos, inicialmente, a regra de cadeia e depois abandonaremos a regra de cadeia e faremos o produto normal entre os fatores das funções e encontraremos a derivada final de uma função normal, ok?

i) Vamos para a questão "3", que é a  função h(x) = (4x²-1)*(7x³+x) --- aplicando a regra de cadeia, que é esta: y = u*v ---> y' = u'*v + u*v'. Veja que na questão "3", tem-se que u = (4x²-1) e v = (7x³+x).
Assim, aplicando a regra de cadeia, teremos:

h'(x) = (8x)*(7x³+x) + (4x²-1)*(21x²+1)
h'(x) = 56x⁴+8x² + 84x⁴+4x² - 21x²-1 ---- reduzindo os termos semelhantes:
h'(x) = 140x⁴ - 9x² - 1  <--- Esta é a derivada pedida, aplicando-se a regra de cadeia.

Agora vamos abandonar a regra de cadeia e vamos tomar a função "3" e vamos multiplicar os seus fatores. A função "3" é esta:

h(x) = (4x²-1)*(7x³+x) ----- efetuando o produto indicado, temos:
h(x) = 28x⁵+4x³ - 7x³ - x ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
h(x) = 28x⁵ - 3x³ - x ---- aplicando a derivada de uma função, teremos:
h'(x) = 5*28x⁴ - 3*3x² - 1
h'(x) = 140x⁴ - 9x² - 1 <--- Veja como a resposta é a mesma que encontramos aplicando a regra de cadeia.


ii) Agora vamos para a questão "4" e que é esta: f(x) = (4x²-7)*(7-2x).
Veja que, na regra de cadeia, teremos y = u*v ---> y' = u'*v + u*v'
Note que u = 4x²-7 e v = 7-2x. Assim, aplicando a regra de cadeia na função "4", teremos;

f'(x) = 8x*(7-2x) + (4x²-7)*(-2)
f'(x) = 56x-16x² + (-8x²)+14 ---- retirando-se os parênteses, teremos:
f'(x) = 56x-16x² - 8x²+14 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
f'(x) = 56x - 24x² + 14 ----- ordenando, ficaremos com:
f'(x) = - 24x² + 56x + 14  <--- Esta é a resposta para a questão "4". Ou seja, esta é a derivada da função f(x) = (4x²-7)*(7-2x), aplicando-se a regra de cadeia.

Agora vamos abandonar a regra de cadeia e vamos efetuar o produto e depois encontraremos a derivada da função.
Veja que:

f(x) = (4x²-7)*(7-2x) ---- efetuando o produto, teremos:
f(x) = 28x²-8x³ - 49 + 14x ---- ordenando, teremos:
f(x) = -8x³ + 28x² + 14x - 49 ----- encontrando a derivada desta função, teremos:
f'(x) = 3*(-8x²) + 2*28x + 1*14 - 0
f'(x) = -24x² + 56x + 14 <--- Veja como a resposta é a mesma que encontramos aplicando a regra de cadeia.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.