Question

Olá amigos adicionei a foto. Na verdade são 3 exercícios que estou com certa dificuldade agora incluindo o que tinha deficiê de algumas informações. Agradeceria imensamente se mi ajudassem nos três exercícios da imagem. Obrigado

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Afonso, que, como você conseguiu anexar a foto das questões, agora ficará melhor pra que possamos interpretá-la bem e, assim, dar uma resposta bem fundamentada.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como, aliás, sempre costumamos proceder em nossas respostas.

1ª questão: Considere o seguinte:

p = log₃ (2)

q = log (4)
.......√3

r = log₁ ̷ ₃ (√2)

Dadas as informações acima, pede-se para informar qual é o menor valor, qual é o valor do meio e qual é o maior valor dentre "p", "q" e "r".

Veja: vamos primeiro calcular cada um dos logaritmos. Depois veremos qual é o menor, qual é o do meio e qual é o maior.

p = log₃ (2) ---- note: se você aplicar a definição de logaritmo, teremos que:

3^(p) = 2 --- vamos aplicar logaritmo (na base 10) a ambos os membros, ficando:

log₁₀ (3^(p)) = log₁₀ (2) ---- passando o expoente "p" multiplicando, teremos:
p*log₁₀ (3) = log₁₀ (2) ---- como log₁₀ (3) = 0,47712 e log₁₀ (2) = 0,30103, teremos:

p*0,47712 = 0,30103 --- isolando "p", teremos:
p = 0,30103/0,47712 ----- note que esta divisão dá "0,63093" (bem aproximado). Logo:

p = 0,63093     . (I)

q = log (4)  ---- note que isto é a mesma coisa que:
.......√3

(√3)^(q) = 4 ---- note que √(3) = 3¹/². Assim, teremos:
(3¹/²)^(q) = 4 ---- ou, o que é a mesma coisa:
3^(q/2) = 4  ---- agora aplicaremos logaritmo (na base 10) a ambos os membros, ficando:

log₁₀ (3^(q/2)) = log₁₀ (4) ---- passando o expoente "q/2" multiplicando, teremos:

(q/2)*log₁₀ (3) = log₁₀ (4) ---- como log₁₀ (3) = 0,47712; e log₁₀ (4) = 0,60206, teremos:

(q/2)*0,47712 = 0,60206 --- ou, o que é a mesma coisa:
q*0,47712/2 = 0,60206 ---- multiplicando em cruz, teremos:
0,47712q = 2*0,60206
0,47712q =1,20412 ---- isolando "q", teremos:
q = 1,20412/0,47712 ---- veja que esta divisão dá "2,5237" (bem aproximado). Logo:

q = 2,5237    . (II)

r = log₁ ̷ ₃ (√2) ---- aplicando a definição de logaritmo, teremos:
(1/3)^(r) = √(2) ---- veja que (1/3) = 3⁻¹ e √2 = 2¹/². Assim, substituindo:

(3⁻¹)^(r) = 2¹/² ----- ou, o que é a mesma coisa:
3^(-r) = 2¹/² ------ vamos aplicar logaritmo (base 10) a ambos os membros, ficando:

log₁₀ (3^(-r)) = log₁₀ (2¹/²) ----- passando os expoentes multiplicando seus respectivos logs, teremos:

(-r)*log₁₀ (3) = (1/2)*(log₁₀ (2) --- como log₁₀ (3) = 0,47712 e log₁₀ (2) = 0,30103, teremos:

-r*0,47712 = (1/2)*0,30103 --- ou, o que é a mesma coisa:
-0,47712r = 0,30103/2 ----- ou ainda:
-0,47712r = 0,150515 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
0,47712r = - 0,150515 ---- isolando "r", teremos:
r = - 0,150515/0,47712 ---- veja que esta divisão dá "-0,31547" (bem aproximado). Logo:

r = - 0,31547     . (III).

Agora, como vemos pela leitura das expressões (I), (II) e (III), temos que o menor valor é o de "r", o valor do meio é o de "p" e o maior valor é o de "q". Assim, teremos isto:

r < p < q --- esta é a resposta para a 1ª questão. Opção "C".

2ª questão: Se m = {1; 2}, então é correto afirmar que (aí são dadas várias opções pra escolhermos a correta).
Vamos fazer o seguinte: vamos tomar cada opção e vamos dizer se está correta ou não e informar o motivo. Então teremos:

(a) {1; 2) = [1; 2] ---- sentença FALSA, pois um conjunto, que é expresso com  chaves "{ }" não pode ser expresso como um intervalo fechado "[ ]". Por isso esta sentença é FALSA.

(b) {1; 2} ∈ [1; 2] ----- sentença FALSA, pois para conjuntos não se utiliza o símbolo ∈, que é utilizado apenas para elementos em relação a conjuntos e não para conjuntos em relação a um intervalo fechado. Por isso esta sentença é FALSA.

(c) {1; 2} ⊂ [1; 2] ---- sentença FALSA, pois o conjunto {1; 2} NÃO está contido no intervalo fechado [1; 2]. Por isso esta sentença é FALSA.

(d) {1; 2} ⊃ [1; 2] ---- sentença VERDADEIRA, pois aqui está informando que o conjunto {1; 2} contém o intervalo fechado [1; 2]. Por isso esta sentença é a única que está escrita corretamente. Logo, a resposta para a 2ª questão será esta:

(d) {1; 2} ⊃ [1; 2] <--- Esta é a resposta para a 2ª questão.

3ª questão: Dados os seguintes conjuntos, encontre A∩B:

A = {x ∈ N | -1 < x < 4} ---- aqui está sendo informado que o conjunto A é o conjunto dos "x" pertencente aos Naturais, tal que: -1 < x < 4. Em outras palavras, se você tabular este conjunto vai encontrar que "A" será:

A = {0; 1; 2; 3}

e

B = {x ∈ Z | 0 ≤ x < 2} ---- aqui está sendo informado que o conjunto B é o conjunto dos "x" pertencentes aos inteiros, tal que "x" é maior ou igual a zero e menor do que "2". Em outras palavras, se você tabular este conjunto vai encontrar que o conjunto B será:

B = {0; 1}

Agora vamos ao que está sendo pedido, que é A∩B:

A∩B = {0; 1; 2; 3} ∩ {0; 1} ---- note que a intersecção entre dois conjuntos são os elementos que estão, simultaneamente, nesses dois conjuntos. Logo, a intersecção entre A e B será:

A∩B = {0; 1} <--- Esta é a resposta para a 3ª questão. Opção "C".

É isso aí.
Deu pra entender bem todo o nosso passo a passo?

OK?
Adjemir.