Question

Olá, alguém sabe desenvolver essa questão?

Answer 1

Debes identificar la región de integración
1) la región es la cuarta parte de un círculo en el primer cuadrante, por ello 

$R=\left\{(x,y):0\leq x \leq a; 0\leq y\leq \sqrt{a^2-x^2}\right\}\\ \\ R=\left\{(r,t):0\leq r\leq a;0\leq t\leq \dfrac{\pi}{2}\right\}\\ \\ \text{Donde:}\\ x=r\cos t\wedge y=r\sin t\\ \\ \text{Adem\'as }\\ \\ \left|\dfrac{\partial (x,y)}{\partial (r,t)}\right|=r$

Así se tiene

$\displaystyle I=\int_{0}^{a}\int_{0}^{\sqrt{a^2-x^2}}\sqrt{a^2-x^2-y^2}\,dxdy\\ \\ I=\int_{0}^{a}\int_{0}^{\pi/2}r\sqrt{a^2-r^2}\,dt dr\\ \\ I=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{a}r\sqrt{a^2-r^2}\,dt \\ \\ I=-\frac{\pi}{4}\int_{0}^{a}\sqrt{a^2-r^2}\;d(a^2-r^2)\\ \\ I=-\frac{\pi}{4}\left.\left(\frac{2}{3}\sqrt{a^2-r^2}^3\right)\right|_0^a\\ \\ I=-\frac{\pi}{6}(-a^3)\\ \\ \boxed{I=\frac{\pi}{6}a^3}$

2) 
$y=\sqrt{2ax-x^2}\\ \\ y=\sqrt{a^2-(x-a)^2}$

Y en este caso, es un semi círculo de radio = a, y centro en (a,0)
La ecuación polar de esta circunferencia es:

$r=2a\cos t\;,\; t\in [0,\pi/2]$

Por eso la región a evaluar es

$\displaystyle R=\left\{(r,t):0\leq t\leq \frac{\pi}{2}\;;\, 0\leq r \leq 2a \cos t\right\}\\ \\ \text{Adem\'as:}\\ \\ \left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,t)}\right|=r\\ \\\\ I=\int_0^{\pi/2}\int_{0}^{2a\cos t} r \,dt dr\\ \\ I=\int_0^{\pi/2}dt\int_{0}^{2a\cos t} r \, dr\\ \\ I=\int_0^{\pi/2}dt\int_{0}^{2a\cos t} r \, dr$

$\displaystyle I=\int_0^{\pi/2}\left.\left(\frac{r^2}{2}\right)\right|_{0}^{2a\cos t} dt\\ \\ I=\int_0^{\pi/2} 2a^2 \cos^2 t\, dt\\ \\ I=2a^2\int_0^{\pi/2} \frac{1-\cos 2t}{2} dt\\ \\ I=a^2 \left.\left(t -\frac{\sin 2t}{2}\right)\right|_{0}^{\pi/2}\\ \\ \boxed{I=\frac{a^2 \pi}{2}}$