Question

Olá, alguém poderia me ajudar com essas integrais(frações parciais)?

Answer 1

Boa noite, vamos relembrar, primeiramente, qual a ideia por trás da integração por frações parciais. Em geral usamos frações parciais em integrais de funções racionais, ou seja, integrais do tipo

$\displaystyle\int \frac{p(x)}{q(x)} \, dx$

Onde p(x) e q(x) são polinômios. Suponha que q(x) possua apenas raízes reais distintas, ou seja, pode ser escrito como um produto

$q(x) = (x-x_1)(x-x_2)\dots (x-x_n)$

As frações parciais utilizam de um resultado de que a função racional pode ser escrita como

$\dfrac{p(x)}{q(x)} = \dfrac{a_1}{x-x_1}+\dfrac{a_2}{x-x_2}+\dots+\dfrac{a_n}{x-x_n}$

Onde cada coeficiente a é um real, e portanto,

$\displaystyle \int\dfrac{p(x)}{q(x)} = \int\dfrac{a_1}{x-x_1}\,dx+\int\dfrac{a_2}{x-x_2}\,dx+\dots+\int\dfrac{a_n}{x-x_n}\,dx$

$\displaystyle\int\dfrac{p(x)}{q(x)} \, dx= a_1 \ln |x-x_1|+a_2\ln |x-x_2|+\dots+a_n \ln |x-x_n|$

O desafio é encontrar os coeficientes, que podem ser encontrados por um sistema linear.

Vamos aplicar todas essa teoria agora. Da primeira função obtemos que

$x^2-16 = (x-4)(x+4)$

Portanto, devemos obter os coeficientes tais que

$\dfrac{-2}{x^2-16} = \dfrac{a_1}{x-4}+\dfrac{a_2}{x+4}$

Fazemos isso multiplicando cada termo pelas demais raízes,

$\dfrac{-2}{x^2-16} = \dfrac{a_1}{x-4}\dfrac{x+4}{x+4}+\dfrac{a_2}{x+4}\dfrac{x-4}{x-4} = \dfrac{a_1(x+4)}{x^2-16}+\dfrac{a_2(x-4)}{x^2-16} = \dfrac{a_1(x+4)+a_2(x-4)}{x^2-16}$

$-2 = (a_1+a_2)x+4a_1-4a_2$

Perceba que -2 é igual ao polinômio 0x - 2, portanto, obtemos que

$a_1+a_2 = 0$

$4a_1-4a_2 = -2$

Resolvendo o sistema linear obtemos

$a_1 = -\dfrac{1}{4}, \hspace{1cm} a_2 = \dfrac{1}{4}$

Portanto,

$\dfrac{-2}{x^2-16} = \dfrac{-1}{4}\dfrac{1}{x-4}+\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{x+4}$

$\displaystyle \int\dfrac{-2}{x^2-16} = \dfrac{-1}{4}\int\dfrac{1}{x-4}\,dx+\dfrac{1}{4}\int\dfrac{1}{x+4}\,dx$

$\displaystyle \int\dfrac{-2}{x^2-16} = -\dfrac{1}{4}\ln |x-4|+\dfrac{1}{4}\ln |x+4|+C$

No segundo exercício temos que

$3x^2-x = (3x-1)x$

Portanto,

$\dfrac{1}{3x^2-x} = \dfrac{a_1}{3x-1}+\dfrac{a_2}{x}$

$\dfrac{1}{3x^2-x} = \dfrac{a_1}{3x-1}\dfrac{x}{x}+\dfrac{a_2}{x}\dfrac{3x-1}{3x-1} = \dfrac{a_1x+a_2(3x-1)}{3x^2-x}$

$1 = (a_1+3a_2)x-a_2$

Como 1 = 0x + 1,

$a_1+3a_2 = 0$

$-a_2 = 1$

Obtemos

$a_1 = 3, \hspace{1cm} a_2 = -1$

$\displaystyle\int\dfrac{1}{3x^2-x}\, dx = 3\int\dfrac{1}{3x-1}\, dx-\int\dfrac{1}{x}\, dx$

$\displaystyle\int\dfrac{1}{3x^2-x}\, dx = \dfrac{3}{3}\ln |3x-1|-\ln |x|+C = \ln |3x-1|-\ln |x|+C$