Question

Olá, alguém pode me ajudar na resolução deste exercício?
Os lados de um triangulo medem 2√3; √6 e 3 + √3. Determine o ângulo oposto ao lado que mede √6.

Answer 1

Deveremos lembrar da Lei dos Cossenos.

$a^{2} = b^{2}+ c^{2}-2.b.c.cos(x)$, sendo:

a = √6
b =  2√3
c = 3 + √3

Vamos chamar de x o ângulo oposto ao lado que mede √6. Se isso ocorre, os lados que formam esse ângulo são os lados que medem 2√3 e 3 + √3.

Na fórmula acima, vamos isolar cos(x):

$a^{2} = b^{2}+ c^{2}-2.b.c.cos(x) \\ \\ a^{2} - b^{2} - c^{2} = -2.b.c.cos(x) .(-1)\\ \\ - a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2.b.c.cos(x) \\ \\ b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2.b.c.cos(x)\\ \\ cos(x)= \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2.b.c}$

Trocando os valores de a, b e c, teremos:

$cos(x)= \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2.b.c} \\ \\ cos(x)= \frac{(2\sqrt{3})^{2} + (3+\sqrt{3})^{2} - (\sqrt{6})^{2}}{2.(2\sqrt{3}).(3+\sqrt{3})} \\ \\ cos(x)= \frac{12 + 9+6\sqrt{3}+3 - 6}{12\sqrt{3}+12}\\ \\ cos(x)= \frac{18+6\sqrt{3}}{12\sqrt{3}+12}\\ \\ cos(x)= \frac{6(3+\sqrt{3})}{12(\sqrt{3}+1)} \\ \\ cos(x)= \frac{(3+\sqrt{3})}{2(\sqrt{3}+1)}.\frac{(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}-1)}\\ \\ cos(x)= \frac{3\sqrt{3}-3 +3-\sqrt{3}}{2(3-1)} \\ \\ cos(x)= \frac{2\sqrt{3}}{4}\\ \\ cos(x)= \frac{\sqrt{3}}{2}$

O ângulo cujo o cosseno é  √3/2 é 30°, 

Logo x = 30°