Question

Olá, algém poderia me ajudar nesse exercício de equação do 2º Grau? Tentei por S e P e não consegui.
Determine a soma dos valores naturais de k que fazem a equação k . x² - 4x + 1 = 0 ter duas raízes reais e distintas

Answer 1

Resposta:

Os valores naturais de k para os quais a equação $k x^{2} - 4x + 1 = 0$ tem duas raízes reais e distintas são {1, 2, 3}.

Explicação passo a passo:

Quando utilizamos a fórmula de Bhaskara para resolver equações do 2º grau, temos algumas conclusões de ordem prática que permitem saber quantas raízes a equação vai ter, simplesmente calculando o Δ:

• Se Δ>0, temos duas raízes reais e distintas;
• Se Δ=0, temos uma única raiz;
• Se Δ<0, não temos raízes reais.

Assim, precisamos saber se o Δ da equação dada é maior que zero, uma vez que a questão quer identificar os valores naturais de k que geram duas raízes reais e distintas. Então:

Δ$=(-4)^{2} -4*k*1=16-4k$

Como estamos procurando valores em que Δ>0, temos a seguinte inequação:

$16-4k > 0\\-4k > -16\\4k < 16\\k < \frac{16}{4}\\k < 4$

Observemos que da segunda para a terceira linha, precisamos mudar os sinais dos termos, o que também provoca a inversão da inequação de > para <.

Por fim, como a questão solicita valores naturais, não podemos utilizar números negativos. Logo, se k<4, os valores possíveis seriam 0, 1, 2 e 3. Contudo, para k=0, deixaríamos de ter uma equação do 2º grau, já que é o coeficiente de x².

Então, o conjunto resposta correto é {1, 2, 3}.