Question

Oito números inteiros consecutivos de três dígitos têm a seguinte propriedade: cada um deles é divisível pelo seu último dígito. Qual é a soma dos dígitos do menor desses oito números? (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14 alguém sabe prfvvv

Answer 1

Primeiro, é preciso lembrar que nenhum destes números pode terminar em zero, já que não ha divisão por este número. Seja então, x um número múltiplo de 10. Logo x + 1 termina em 1, x + 2 termina em 2 e assim por diante e estes números são consecutivos. Queremos então encontrar um valor de x que satisfaça o seguinte sistema de equações:

$\begin{cases}1 \ | \ x + 1\\2 \ | \ x + 2\\3 \ | \ x + 3\\4 \ | \ x + 4\\5 \ | \ x + 5\\6 \ | \ x + 6\\7 \ | \ x + 7\\8 \ | \ x + 8 \\\end{cases}$

É fácil ver que x = 0 é uma solução. Queremos então somar um valor y tal que x + 1 + y continue sendo múltiplo de 1, x + 2 + y continue sendo múltiplo de 2 e assim por diante.

$\begin{cases}1 \ | \ x + 1 + y\\2 \ | \ x + 2 + y\\3 \ | \ x + 3 + y\\4 \ | \ x + 4 + y\\5 \ | \ x + 5 + y\\6 \ | \ x + 6 + y\\7 \ | \ x + 7 + y\\8 \ | \ x + 8 + y \\\end{cases}$

Para que isso aconteça, o número y somado deve ser múltiplo de 1,2,3,4,5,6,7 e 8. Assim, y deve ser múltiplo do MMC destes números.

mmc(1,2,3,4,5,6,7,8) = 2³.3.5.7 = 840

Então, com x = 0 e y = 840 temos:

$\begin{cases}1 \ | \ 0 + 1 + 840 = 841\\2 \ | \ 0 + 2 + 840= 842\\3 \ | \ 0 + 3 + 840= 843\\4 \ | \ 0 + 4 + 840= 844\\5 \ | \ 0 + 5 + 840= 845\\6 \ | \ 0 + 6 + 840= 846\\7 \ | \ 0 + 7 + 840= 847\\8 \ | \ 0 + 8 + 840= 848\\\end{cases}$

O menor destes números é 841, a soma de seus dígitos é 8 + 4 + 1 = 13.

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Answer 2

Resposta:

Uma maneira diferente, já que alguém disse  por critérios de divisibilidade:

*** zero não pode ser o último número

, não existe divisão por zero

final {1,2,3,4,5,6,7,8}

Suponha número x com final 5

x com final 4

sendo x-1 divisível por 4, portanto ,

os dois últimos  números divisíveis por 4:

04,24,44,64,84

sendo x+1 divisível por 6, portanto, par e  a soma dos três algarismos divisíveis por 3

06,26,46,66,86

final 06 ==>306,606,906

final 26 ==>126,426,726

final 46 ==>246,546,846

final 66 ==>366,666,966

final 86 ==>186,486,786

sendo x+2 divisível por 7 , retire

o número das unidades , multiplique por  

dois e subtraia pelo número sem a unidade

final 07 ==>307,606,906

final 27 ==>127,426,726

final 47 ==>247,547,847

final 67 ==>367,667,967

final 87 ==>187,487,787

O único que é divisível por 7 é o 847

84 - 2*7  = 84-14  = 70 que é divisível por 7

Então os números são:

841,842,843,844,845,846,847,848

menor 841  ==>8+4+1 = 13