Question

Oito amigos resolveram ir ao cinema e compraram os ingressos de forma que todos pudessem se sentar numa mesma fila contendo apenas oito poltronas. Sabendo que Carlos e Mariana estão brigados e por esse motivo não querem se sentar juntos, de quantas maneiras distintas os oito amigos podem ocupar as oito poltronas?

Answer 1

• O que é permutação?

A partir de um conjunto qualquer, contendo n de elementos distintos, qualquer sequência formada pelos mesmos n elementos reordenados de forma diferente é chamada de permutação. Portanto, se um conjunto A é uma permutação do conjunto B, então A e B são formados pelos mesmos elementos, mas ordenados de forma diferente.

O número de permutações ($P_n$) possíveis para um conjunto de n elementos é dado por

$P_n=n!$

• Resolvendo o problema

O número de maneiras distintas em que os 8 amigos podem se sentar é igual a

$P_8=8!\\\\P_8=8~.~7~.~6~.~5~.~4~.~3~.~2~.~1\\\\P_8=40.320$

No entanto, há a restrição de que 2 deles (Carlos e Mariana) não querem se sentar um ao lado do outro.

Considerando-se todos os 8 amigos, há 14 maneiras diferentes dos 2 se sentarem juntos:

$\begin{array}{cc}MCXXXXXX&CMXXXXXX\\XMCXXXXX&XCMXXXXX\\XXMCXXXX&XXCMXXXX\\XXXMCXXX&XXXCMXXX\\XXXXMCXX&XXXXCMXX\\XXXXXMCX&XXXXXCMX\\XXXXXXMC&XXXXXXCM\\\end{array}$

Além disso, o número de maneiras distintas em que os demais 6 amigos podem se sentar em volta dos dois é igual a

$P_6=6!\\\\P_6=6~.~5~.~4~.~3~.~2~.~1\\\\P_8=720$

Portanto, o número (n) de maneiras distintas em que os 8 amigos podem ocupar as 8 poltronas é igual amigos

$n=P_8-14~.~P_6\\\\n=40.320-14~.~720\\\\n=40.320-10.080\\\\\boxed{n=30.240}$

• Para saber mais

https://brainly.com.br/tarefa/25754974