Question

Oi galero, me ajuda pffff
foco na 4, nao entendi ela

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Kelly, como explicamos nos comentários acima, vamos resolver a 4ª questão, que é esta e que vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

4ª questão: seja "A" uma matriz 2x2 (ou seja, uma matriz de 2ª ordem, com duas linhas e duas colunas) e "x" um número real qualquer. Prove que:

 Det(x*A) = x² * Det(A) , em que Det(A) é o determinante da matriz A₂ₓ₂ acima.

4.i) Vamos considerar a matriz A₂ₓ₂ como sendo a seguinte:

A = |a....b|
......|c....d| ---- vamos calcular o seu determinante. Então:

det(A) = a*d - c*b ---- ou apenas, o que é a mesma coisa:
det(A) = ad - bc       . (I)

4.ii) Agora vamos encontrar a matriz (x*A), que nada mais é do que a matriz A multiplicada pelo escalar "x". Então a matriz (xA) será esta:

xA = |xa.....xb|
........|xc.....xd| ----- E agora vamos calcular o seu determinante. Assim:

Det(xA) = xa*xd - xc*xb ----- desenvolvendo, temos:
Det(xA) = x²ad - x²cb ------- ou, o que é a mesma coisa:
Det(xA) = x²ad - x²bc ----- veja que podemos colocar x² em evidência, pois ele é comum a cada um dos fatores acima. Logo, teremos isto:

Det(xA) = x²*(ad - bc)        . (II)

4.iii) Agora veja que está sendo pedido que devemos provar que:

Det(xA) = x²*det(A)         . (III)

E o que vimos na expressão (II) nada mais é do que o escalar "x" ao quadrado multiplicando o Det.(A) que, como vimos lá na expressão (I), é exatamente igual a "ad - bc". Logo, conseguimos provar o que foi pedido, que é o que se vê na expressão (III) acima.

Observação: para encontrar o determinante de uma matriz  (λA)  de 2ª ordem, basta que elevemos o escalar λ à mesma ordem da matriz (no caso eleva-se λ ao quadrado, pois a matriz é de 2ª ordem) e o multiplicamos pelo determinante da matriz A, ou seja, teremos exatamente isto:

Det(λA) = λ² * Det(A) <--- Note que isto é o que está exposto na expressão (III) acima, que é o que provamos.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.