Question

Oi! Alguém pode me ajudar? Gostaria de saber como se resolve a questão 7. "Assinale a alternativa verdadeira." Sobre as funções injetora e sobrejetora.

(gabarito C)

Obrigada!

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Irei tentar responder utilizando contraexemplos simples, isto é, mostrando exemplos que contradizem as sentenças.

a) (FALSA). Por meio de um diagrama (imagem acima) vemos que fog é sobrejetora, no entanto, g não é sobrejetora.

b) (FALSA). Se pegarmos f(x) = x e g(x) = -x, ambas sobrejetoras, então f(x) + g(x) = x + (-x) = 0, que não é sobrejora, pois o contradomínio de (f + g)(x) = CD(f) U CD(g) = R, sendo que Im(f + g) = {0} $\neq$ CD(f + g) = R, ou seja, f + g não é sobrejetora.

c) (VERDADEIRA). (Esses são até teoremas: composta de injetoras e composta de sobrejetoras).

Considere os elementos x1 e x2 pertencentes ao domínio de g(x) e suponhamos que (f o g)(x1) = (f o g)(x2), que é o mesmo que f(g(x1)) = f(g(x2)). Como, da nossa hipótese, f é injetora, decorre que g(x1) = g(x2) e, como g também injetora, temos que x1 = x2, ou seja, f(g(x1)) = f(g(x2) ) => x1 = x2. Concluindo assim que, se f e g são injetoras, então (f o g) é injetora.

d) (FALSA). Novamente tomando g(x) = -x e f(x) = x, ambas injetoras. Com isso, temos que f(x)g(x) = x.(-x) = -x^2, com D(f.g) = D(f) ∩ D(g) = R. Perceba que (f.g)(x) não é injetora, pois para x1 = 1 e x2 = -1 temos (f.g)(x1) = (f.g)(x2) = -1.

e) (FALSA). Uma função f admite uma inversa f^(-1) se, e somente se, ela for bijetora. Logo, f ser sobrejetora é uma condição necessária, mas não suficiente.