Obter uma PG cujos elementos vericam a relac~ao a2 + a4 + a6 = 10 e a3 + a5 + a7 = 30:
Soluções para a tarefa
Resposta:
PA (-50/3, -10, -10/3, 10/3, 10, 50/3, 70/3, ....)
aₙ = (-70 +20n)/3
Explicação passo a passo:
Equação da PA: aₙ = a₁ + (n-1).r
a₂ + a₄ + a₆ = 10:
a₂ => n = 2
Substituindo n=2 em aₙ = a₁ + (n-1).r:
a₂ = a₁ + (2-1).r = a₁ + r
a₄ => n = 4
Substituindo n=4 em aₙ = a₁ + (n-1).r:
a₄ = a₁ + (4-1).r = a₁ + 3r
a₆ => n = 6
Substituindo n=6 em aₙ = a₁ + (n-1).r:
a₂ = a₁ + (6-1).r = a₁ + 5r
Substituindo a₂ = a₁ + r, a₄ = a₁ + 3r e a₆ = a₁ + 5r em a₂ + a₄ + a₆ = 10:
a₁ + r + a₁ + 3r + a₁ + 5r = 10
3a₁ + 9r = 10 (I)
a₃ + a₅ +a₇ = 30:
a₃ => n = 3
Substituindo n=3 em aₙ = a₁ + (n-1).r:
a₃ = a₁ + (3-1).r = a₁ + 2r
a₅ => n = 5
Substituindo n=5 em aₙ = a₁ + (n-1).r:
a₅ = a₁ + (5-1).r = a₁ + 4r
a₇ => n = 7
Substituindo n=7 em aₙ = a₁ + (n-1).r:
a₇ = a₁ + (7-1).r = a₁ + 6r
Substituindo a₃ = a₁ + 2r, a₅ = a₁ + 4r e a₇ = a₁ + 6r em a₃ + a₅ +a₇ = 30:
a₁ + 2r + a₁ + 4r + a₁ + 6r = 30
3a₁ + 12r = 30 (÷3)
a₁ + 4r = 10 (II)
Temos um sistema formado por (I) e (II)
3a₁ + 9r = 10 (I)
a₁ + 4r = 10 (II)
Para resolver, de (II) isole o a₁ :
a₁ = 10 - 4r
Substituindo a₁ = 10 - 4r em 3a₁ + 9r = 10:
3(10 - 4r) + 9r = 10
30-12r+9r=10
3r=30-10
3r = 20
r = 20/3
Substituindo r = 20/3 em (II)
a₁ = 10 - 4(20/3)
a₁ = (30-80)/3
a₁ = -50/3
aₙ = -50/3 + (n-1).20/3
aₙ = -50/3 +20n/3 - 20/3
aₙ = -70/3 + 20n/3
aₙ = (-70 +20n)/3
Para n = 1
a₁ = -50/3
Para n = 2
a₂ = (-70 +20.2)/3 = (-70+40)/3 = -30/3 = -10
Para n = 3
a₃ = (-70 +20.3)/3 = (-70+60)/3 = -10/3
Para n = 4
a₄ = (-70 +20.4)/3 = (-70+80)/3 = 10/3
Para n = 5
a₅ = (-70 +20.5)/3= (-70 +100)/3=30/3=10
Para n = 6
a₆ = (-70 +20.6)/3= (-70 +120)/3=50/3
Para n = 7
a₅ = (-70 +20.7)/3= (-70 +140)/3=70/3
e assim por diante
PA (-50/3, -10, -10/3, 10/3, 10, 50/3, 70/3, ....)
PROVA:
a₂ + a₄ + a₆ = 10
-10 + 10/3 +50/3 = 10
(-30+10+50)/3 = 10
30/3 = 10
10 = 10 (VERDADEIRO)
a₃ + a₅ +a₇ = 30
-10/3 + 10 + 70/3 = 30
(-10+30+70)/3 = 30
90/3 = 30
30 = 30 (VERDADEIRO)