Question

Obter uma PA de três termos cuja soma é igual a 12 e cuja produto se já igual a 60.

Answer 1

Fórmulas conhecidas para possível utilização:

$an = a1 + (n - 1) \times r$
$sn \: = \frac{n \times (a1 + an)}{2}$

DEDUÇÃO:
P.A = (x, x + r, x + 2r)

SOMA:
$x + x + r + x + 2r = 12 \\ 3x + 3r = 12 \\ 3 \times (x + r) = 12 \\ x + r = \frac{12}{3} \\ x + r = 4 \\ x = 4 - r$

PRODUTO:
$x \times (x + r) \times (x + 2r) = 60$

Substituindo a equação reduzida da soma na equação do produto:

$(4 - r) \times ((4 - r) + r) \times ((4 - r) + 2r) = 60 \\ (4 - r) \times 4 \times (4 + r) = 60 \\ (16 - 4r) \times (4 + r) = 60 \\ 64 + 16r - 16r - {4r}^{2} = 60 \\ - 4 {r}^{2} + 64 = 60 \\ - 4 {r}^{2} = - 4 \\ r = 1$

Substituindo o resultado acima na equação reduzida da soma:

$x = 4 - r \\ x = 4 - 1 \\ x = 3$

Logo, a partir da dedução mencionada, temos:

1° termo -> x = 3
2° termo -> x + r = 3 + 1 = 4
3° termo -> x + 2r = 3 + 2 = 5

Portanto, PA = (3, 4, 5)

Prova real:

SOMA: 3 + 4 + 5 = 12
PRODUTO: 3 * 4 * 5 = 60