Question

obter uma pa crescente formada por numeros inteiros e consecutivos de modo que a soma de seus cubos seja igual ao quadrado da sua soma

Answer 1

Sendo essa pa começada por 1
A soma dos seus cubos, por serem consecutivos, é dada por
$S_3 = \frac{n^2 (n+1)^2}{4}$

E a soma dos termos é
$S = \frac{n(n+1)}{2}$

Sendo n o número de termos
Como $S_3 = S^2$:

$\frac{n^2 (n+1)^2}{4} = (\frac{n(n+1)}{2})^2$

$\frac{n^2 (n+1)^2}{4} = \frac{n^2 (n+1)^2}{4}$

Observe que os termos são idênticos, e a igualdade vale independemente de "n", portanto TODA pa de termos consecutivos iniciada em 1 terá a soma de seus cubos igual ao quadrado de sua soma, por exemplo

$1^3 = (1)^2 = 1$

$1^3 + 2^3 = (1+2)^2 = 9$

$1^3 + 2^3 + 3^3 = (1+2+3)^2 = 36$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = (1+2+3+4)^2 = 100$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 = (1+2+3+4+5)^2 = 225$

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