Question

Obter uma P.A. crescente formada por números inteiros e consecutivos de modo que a soma de seus cubos seja igual ao quadrado de sua soma.​

Answer 1

(x, x+1,x+2)

x³+(x+1)³+(x+2)³=(x+x+1+x+2)²

2x³+4x²+7x+5=9x²+18x+9

2x³+4x²-9x²+7x-18x+5-9=0

2x³-5x²-11x-4=0

2x³+2x²-7x²-7x-4x-4=0

2x²(x+1)-7x(x+1)-4(x+1)=0

(x+1)(2x²-7x-4)=0

(x+1)(2x²-8x+x-4)=0

(x+1)(2x(x-4)+1(x-4)) =0

(x-1)(x-4)(2x+1)=0

x-1=0→x=1

x-4=0→x=4

2x+1=0→x=-½

Como x deve ser inteiro, a solução não serve. Verifiquemos os valores para x=1 e x=4.

Para x=4

(x, x+1,x+2)=(4,5,6)

4³+5³+6³=405

(4+5+6)²=15²=225

Portanto 4³+5³+6³≠(4+5+6)² e assim

x =4 não satisfaz a igualdade.

Para x=1

(x, x+1,x+2)=(1,1+1,1+2)=(1,2,3)

1³+2³+3³=1+8+27=36

(1+2+3)²=6²=36

Portanto 1³+2³+3³=(1+2+3)² satisfazendo a igualdade.

Logo a P.A será da forma (1,2,3,4,5,....)