Question

Obter uma P.A. Crescente formada por números inteiros e consecutivos de modo que a soma de seus cubos seja igual ao quadrado da sua soma.

Answer 1

O que eu usei para chegar !!!

* fatoracao por evidência
* agrupamento de seus consecutivos sejam : x , x+1 , n ou n + 1 etc...
* formula de produtos notáveis: quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o segundo ao quadrado
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

* Cubo da Soma 


Temos que a expressão (a + b)³ pode ser escrita da seguinte forma: (a + b)² * (a + b). A decomposição permite aplicarmos o quadrado da soma na expressão (a + b)², multiplicando o resultado pela expressão (a + b).






Seja x€ Z 

* P.a. {x} ,, x³= x² <--> x=0 ou x=1 <--> P.a. {0} ou P.a. {1} 

* P.a. { x, x+1} ,, x³+ (x+1)³ = (x+x+1)² <--> 2x³+3x² +3x+1 = 4x²+4x+1 <--> 2x³ - x² - x =0 <--> 
x·(x²-x-1)=0 x€Z <--> x=0 <--> P.a. { 0, 1} 

* P.a. { x-1, x, x+1} ,, (x-1)³+x³+ (x+1)³ = (x-1+x+x+1)² <--> 3x³ + 6x = 9x² <-->3x³-9x²+6x <--> 
x³- 3x²+2x=0 <--> x·(x²-3x+2)=0 <--> x·(x-1)·(x-2)=0 <--> x=0 ou x= 1 ou x=2 <--> 
P.a. {-1, 0, 1} ou P.a. {0, 1, 2} ou P.a. {1, 2, 3} 

Em outro caso impossível! 

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( outra forma de fazer segue abaixo ok )

sejam os números inteiros -> n - 1 , n e n + 1

assim:

( n - 1 )³ + n³ + ( n + 1 )³ = ( n - 1 + n + n + 1 )²

n³ - 3n² + 3n - 1 + n³ + n³ + 3n² + 3n + 1 = ( 3n )²

2n³ + 6n + n = 9n²

2n³ - 9n² + 7n = 0

raízes: n = 0 ou n = 1 ou n = 7/2 ( não conwém )

para n = 0 -> - 1, 0 , 1

para n = 1 -> 0, 1, 2