Obter uma equação da elipse de focos F1 (-1,0) e F2 (1,0), cujo eixo maior mede 4 unidades.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Dados dois pontos quaisquer do plano F1 e F2 e seja 2c a distância entre eles, elipse é o conjunto dos pontos do plano cuja soma das distâncias à F1 e F2 é a constante 2a (2a > 2c).
Elementos da Elipse:
F1 e F2 → são os focos
C → Centro da elipse
2c → distância focal
2a → medida do eixo maior
2b → medida do eixo menor
c/a → excentricidade
Há uma relação entre os valores a, b e c→ a2 = b2+c2
Equação da Elipse.
1º caso: Elipse com focos sobre o eixo x.
Nesse caso, os focos têm coordenadas F1( - c , 0) e F2(c , 0). Logo, a equação reduzida da elipse com centro na origem do sistema cartesiano e com focos sobre o eixo x será:
2º Caso: Elipse com focos sobre o eixo y.
Nesse caso, os focos apresentam coordenadas F1(0 , -c) e F2(0 , c). Assim, a equação reduzida da elipse com centro na origem do sistema cartesiano e com focos sobre o eixo y será:
Exemplo 1. Determine a equação reduzida da elipse com focos sobre o eixo x, com eixo maior medindo 12 e eixo menor 8.
Solução: temos que
2a = 12 → a =6
2b = 8 → b = 4
Assim,
Exemplo 2. Determine a equação reduzida da elipse sabendo que um dos focos é F1(0 , -3) e que o eixo menor mede 8.
Solução: temos que
Se F1(0 , -3) → c = 3 e o foco está sobre o eixo y.
2b = 8 → b = 4
Usando a relação notável: a2 = b2+c2, obtemos:
a2 = 42+32 → a2 = 16 + 9 → a2 = 25 → a = 5
Assim, a equação reduzida da elipse será:
Utilizando os focos e a medida do eixo maior, obtemos a equação da elipse
Qual a equação da elipse
Os focos dados na questão são pontos sobre o eixo de coordenadas x, portanto, o eixo maior da elipse se encontra sobre o eixo x do sistema de coordenadas. Esse modelo de elipse possui equação na forma:
Onde a e b são as medidas dos semi eixos maior e menor, respectivamente. Numa elipse qualquer, temos a seguinte relação:
Onde c é a metade da distância entre os focos da elipse.
A distância entre os focos da elipse descrita na questão é 2 unidades, logo, c = 1. Temos também que, a medida do eixo maior é 4 unidades, portanto, a = 2. Dessa forma, podemos escrever que:
A equação da elipse é:
Para mais informações sobre elipses, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/38395104
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