Question

Obter um ponto P do eixo das abscissas equidistante dos pontos A(2,-3,1) e B(-2,1,-1).

Answer 1

Se um ponto $P$ pertence ao eixo das abscissas, então as coordenadas $y$ e $z$ deste ponto são iguais a zero, ou seja, as coordenadas do ponto $P$ são

$P\left(x_{_{P}},\,0,\,0 \right )$


Se $P$ é equidistante dos pontos $A\left(2,\,-3,\,1 \right )$ e $A\left(-2,\,1,\,-1 \right )$, então a distância de $P$ até $A$ é igual à distância de $P$ até $B$:

$d_{_{PA}}=d_{_{PB}}\\ \\ \sqrt{\left(x_{_{A}}-x_{_{P}} \right )^{2}+\left(y_{_{A}}-y_{_{P}} \right )^{2}+\left(z_{_{A}}-z_{_{P}} \right )^{2}}=\sqrt{\left(x_{_{B}}-x_{_{P}} \right )^{2}+\left(y_{_{B}}-y_{_{P}} \right )^{2}+\left(z_{_{B}}-z_{_{P}} \right )^{2}}\\ \\ \sqrt{\left(2-x_{_{P}} \right )^{2}+\left(-3-0 \right )^{2}+\left(1-0 \right )^{2}}=\sqrt{\left(-2-x_{_{P}} \right )^{2}+\left(1-0 \right )^{2}+\left(-1-0 \right )^{2}}\\ \\ \sqrt{4-4x_{_{P}}+x_{_{P}}^{2}+9+1}=\sqrt{4+4x_{_{P}}+x_{_{P}}^{2}+1+1}\\ \\ \sqrt{x_{_{P}}^{2}-4x_{_{P}}+14}=\sqrt{x_{_{P}}^{2}+4x_{_{P}}+6}\\ \\ \left(\sqrt{x_{_{P}}^{2}-4x_{_{P}}+14} \right )^{2}=\left(\sqrt{x_{_{P}}^{2}+4x_{_{P}}+6} \right )^{2}\\ \\ x_{_{P}}^{2}-4x_{_{P}}+14=x_{_{P}}^{2}+4x_{_{P}}+6\\ \\ x_{_{P}}^{2}-x_{_{P}}^{2}-4x_{_{P}}-4x_{_{P}}+14-6=0\\ \\ -8x_{_{P}}+8=0\\ \\ -8x_{_{P}}=-8$

$x_{_{P}}=\dfrac{-8}{-8}\\ \\ x_{_{P}}=1$


O ponto procurado é $P\left(1,\,0,\,0 \right )$.