Question

Obter raízes de polinômio do 3° grau.

Answer 1

Boa noite

Fatorando o número 3 obtemos 1 e 3 . Vamos chamar esses números de "q".

Fatorando o número 8 obtemos 1,2,4 e 8.Vamos chamar esses números

de  "p".

Entre os números da forma 

$\pm \dfrac{p}{q}$ 

estão as 3 raízes que queremos [ são 16 possibilidades para testar , na equação ].

No nosso caso é fácil perceber que o número 1 é uma das raízes .

Não sabemos qual delas . Vamos chamar , temporariamente , as nossas

raízes de m ; n e 1.

Dividindo  (3x³-13x²-18x-8 ) por  (x-1) obtemos o polinômio do 2º grau ,

( 3x²-10x +8 )    [ pode usar Briot-Ruffini na divisão ] . 

Resolvendo a equação 3x²-10x+8=0 obtemos as raízes  m=2 e n= 4/3 .

Podemos agora reescrever a nossa equação

x³-13x²+18x-8=0 ⇒ (3x²-10x+8) * (x-1) = 0 ⇒(x-m)*(x-n)*(x-1) = 0  ou 

(x- 2)*(x-4/3) *(x-1)=0

Trabalhando com

$\dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b} = \dfrac{2}{c} \quad temos\quad \dfrac{a+b}{ab} = \dfrac{2}{c}$

E só precisamos descobrir , por tentativas , qual o valor do c .

I)  c=1 ⇒ a+b = 10/3  e ab = 8/3

$\dfrac{ \frac{10}{3} }{ \frac{8}{3} } = \dfrac{2}{1} \Rightarrow \dfrac{10}{8} =2\quad [falso]$

II) c=2 ⇒ a+b= 7/3  e  ab= 4/3 


$\dfrac{ \dfrac{7}{3} }{ \dfrac{4}{3} } = \dfrac{2}{2} \Rightarrow \dfrac{7}{4} =1 \quad [ falso ]$

III)  c= 4/3 ⇒ a+b = 3  e  ab=2

$\dfrac{3}{2} = \dfrac{2}{ \dfrac{4}{3} } \Rightarrow \dfrac{3}{2} =2* \dfrac{3}{4} \Rightarrow \dfrac{3}{2}= \dfrac{3}{2} \quad [ verdadeiro ]$

Conclusão :  c= 4/3 e ab = 2

Temos então :

$( \dfrac{ab}{3}+c )=( \dfrac{2}{3}+ \dfrac{4}{3} )= \dfrac{6}{3} = \boxed{2}$

Resposta  :  letra  a